Nella tappa precedente abbiamo sommato il lavoro lungo un cammino. Ora chiudiamo il percorso e chiediamo: possiamo ricavare la stessa circolazione guardando ciò che accade nella regione racchiusa? Green collega due calcoli diversi, ma soltanto con il bordo e il dominio giusti. Partiamo da un rettangolo, prima di affrontare cerchi, corone e flusso.
Green: dal bordo alla regione · Indice del percorso
1. Due modi di guardare la stessa quantità
La circolazione è l’integrale di linea di F=(P,Q) lungo una curva chiusa: ∮C Pdx+Qdy. Il cerchietto sull’integrale ricorda che torniamo al punto di partenza. Non è la lunghezza del bordo né il modulo del campo: contano le componenti nella direzione di percorrenza, con i loro segni.
Il teorema collega questa somma sul bordo a un integrale doppio. La funzione interna non è P+Q: è Q_x−P_y, dove i pedici indicano derivate parziali. Misura una tendenza locale alla circolazione, non la velocità angolare di qualunque oggetto immerso nel campo.
2. Prima le ipotesi, poi la formula
Nella forma classica D è una regione piana limitata con bordo semplice, chiuso e regolare a tratti. P e Q devono avere derivate prime continue in un aperto che contiene la regione e il suo bordo. Gli spigoli del rettangolo sono ammessi; un campo non definito in un punto interno non soddisfa queste ipotesi. In seguito estenderemo la formula a più componenti di bordo.
Il bordo positivo si percorre lasciando la regione a sinistra. Senza buchi significa senso antiorario. Se invertiamo il verso, l’integrale sul bordo cambia segno, ma l’integrale doppio geometrico su D non cambia. Per confrontarli bisogna introdurre esplicitamente un segno meno.
3. Scrivere e leggere Green
B=∮[∂D,+] P dx+Q dy
I=∬D (Q_x−P_y)dA
B=I
B_(−∂D)=−I
∂D si legge «bordo di D». Il simbolo + fissa l’orientamento positivo. Nel lato destro dA è l’elemento di area, positivo: non inseriamo il verso antiorario dentro dA. Per F=(−y,x), P_y=−1 e Q_x=1, quindi Q_x−P_y=1−(−1)=2. Attenzione al doppio segno meno.
4. Un rettangolo, quattro lati, due calcoli
Scegliamo D=[0,a]×[0,b], a,b>0, e F=(−y,x). Partiamo dall’origine e seguiamo il bordo positivo: basso verso destra, destra verso l’alto, alto verso sinistra e sinistra verso il basso. Su un lato orizzontale dy=0; su uno verticale dx=0.
B₁=∫₀ᵃ0 dx=0
B₂=∫₀ᵇa dy=ab
B₃=∫ₐ⁰(−b)dx=(−b)(−a)=ab
B₄=∫[b,0]0 dy=0
B=0+ab+ab+0=2ab
I=∫₀ᵃ∫₀ᵇ2 dy dx=2ab
a=2, b=1 → B=I=4
Il contributo superiore è positivo perché sia la componente P sia lo spostamento dx sono negativi. Questa osservazione evita l’errore comune di integrare tutti i lati da zero alla lunghezza senza modificare la direzione tangente.
5. Perché compaiono proprio quelle derivate
Per un campo generale sommiamo i quattro lati del rettangolo. Accoppiamo i lati orizzontali e poi i verticali; trasformiamo le differenze di valori in integrali di derivate usando il teorema fondamentale del calcolo. Tutti i passaggi seguenti valgono sotto le ipotesi di regolarità già dichiarate.
B=∫₀ᵃ[P(x,0)−P(x,b)]dx+∫₀ᵇ[Q(a,y)−Q(0,y)]dy
P(x,0)−P(x,b)=−∫₀ᵇP_y(x,y)dy
Q(a,y)−Q(0,y)=∫₀ᵃQ_x(x,y)dx
B=−∫₀ᵃ∫₀ᵇP_y dy dx+∫₀ᵇ∫₀ᵃQ_x dx dy
=∬D (Q_x−P_y)dA
Se uniamo due celle adiacenti, il lato condiviso viene percorso due volte in versi opposti: i contributi si cancellano. Rimane il bordo dell’unione. È l’intuizione per regioni più generali; il disegno non sostituisce la dimostrazione tecnica del passaggio al limite per domini curvi.
6. Una densità interna non costante
Con F=(−y³,x³), sullo stesso rettangolo, P_y=−3y² e Q_x=3x². La densità è 3x²+3y²: non possiamo sostituirla con una costante arbitraria. Integriamo prima rispetto a y e poi a x.
I=∫₀ᵃ∫₀ᵇ(3x²+3y²)dy dx
=∫₀ᵃ[3x²y+y³]₀ᵇdx
=∫₀ᵃ(3bx²+b³)dx
=[bx³+b³x]₀ᵃ=ba³+ab³=ab(a²+b²)
B₂=a³b; B₃=ab³; B₁=B₄=0
a=2,b=1 → B=I=2(4+1)=10
Nel laboratorio le due quadrature sono indipendenti. Il bordo può risultare già esatto con pochi campioni, mentre la somma interna ha ancora errore. Uno scarto che diminuisce aumentando n non smentisce l’identità analitica.
7. Il dominio non deve essere rettangolare
Prendiamo il triangolo con vertici (0,0),(a,0),(0,b), orientati in quest’ordine. L’area è ab/2. Per F=(−y,x) la densità è 2, dunque I=ab. Il lato obliquo da (a,0) a (0,b) fornisce tutto il contributo; gli assi danno zero.
r(t)=(a(1−t),bt), 0≤t≤1
r′=(−a,b), F(r)=(−bt,a(1−t))
F(r)·r′=abt+ab(1−t)=ab
B=∫₀¹ab dt=ab
I=∫[0,a]∫[0,b(1−x/a)]2dy dx=ab
Il limite superiore di y dipende da x: descrive l’ipotenusa. Nel laboratorio il cambiamento x=au, y=b(1−u)v porta il quadrato dei parametri al triangolo. Il peso di area è J=ab(1−u), non ab costante.
8. Calcolare un’area passando dal bordo
Scegliamo P=−y/2 e Q=x/2: allora Q_x−P_y=1. Con il bordo positivo Green trasforma l’integrale di 1, cioè l’area, in un integrale di linea. Per l’ellisse x=a cos t, y=b sin t, 0≤t≤2π, il prodotto si semplifica senza integrare radici.
Area(D)=1/2 ∮[∂D,+](x dy−y dx)
−y x′/2+x y′/2=(ab/2)(sin²t+cos²t)=ab/2
Area(ellipse)=∫₀²πab/2 dt=πab
Per un poligono semplice, integrare sui segmenti produce la formula ½Σ(x_i y_(i+1)−x_(i+1)y_i), chiudendo l’ultimo vertice sul primo. Con (0,0),(3,0),(0,2) otteniamo (0+6+0)/2=3. Invertendo l’ordine esce −3: è area con segno; l’area geometrica resta 3. Non applicare senza adattamenti la formula di area a contorni auto-intersecanti.
9. Regioni con buchi: tutti i bordi contano
Green si estende a regioni con un numero finito di buchi e bordi regolari a tratti, se il campo è C¹ in un intorno dell’intera regione chiusa, esclusi i buchi. Ogni componente deve lasciare D a sinistra: bordo esterno antiorario, contorni dei buchi orari. Non basta integrare soltanto sul bordo esterno.
D={r≤√(x²+y²)≤R}, 0<r<R
∮outer,+F·dr + ∮inner,−F·dr = ∬D(Q_x−P_y)dA
F=(−y,x): B_outer=2πR²; B_inner=−2πr²
B=2π(R²−r²)=2 Area(D)
R=2,r=1 → 8π−2π=6π
I segni + e − qui indicano rispettivamente antiorario e orario dei cerchi. Un taglio che unisce i due contorni permette di vedere la cancellazione: le due facce del taglio hanno contributi opposti. La semplice connessione non è necessaria per questa versione estesa, purché si consideri il bordo completo e valgano le ipotesi sul campo.
10. Perché il campo angolare non smentisce Green
F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)) ha Q_x−P_y=0 fuori dall’origine. Sul cerchio antiorario di qualunque raggio la circolazione è 2π. Non possiamo però riempire il cerchio con un disco e applicare Green: il campo non esiste nell’origine, interna al disco. Una griglia che non campiona quel punto non ripara l’ipotesi mancante.
D={ρ≤R}: (0,0)∈D; ∄F(0,0)
D={r≤ρ≤R}, r>0 → B_outer=2π, B_inner=−2π
B_total=0=∬D0 dA
Sulla corona, invece, l’origine non appartiene alla regione: il campo è regolare in un suo intorno e Green funziona con entrambi i bordi. Se togliamo il bordo interno dal calcolo rimangono 2π: stiamo cambiando il contorno, non trovando un’eccezione al teorema.
11. La seconda forma: flusso uscente
Per il bordo positivo la normale uscente è alla destra della tangente. Il suo elemento orientato è n ds=(dy,−dx). Il flusso del campo F=(P,Q) attraverso il bordo è quindi ∮Pdy−Qdx. Applichiamo la forma già studiata al campo ausiliario (−Q,P): la densità interna diventa P_x+Q_y.
∮[∂D,+] F·n ds=∮[∂D,+] Pdy−Qdx
=∬D(P_x+Q_y)dA
F=(x,y): P_x+Q_y=1+1=2
D={x²+y²≤R²} → Flux_out=2πR²
Nel laboratorio, invertire il verso mantiene la normale alla destra della tangente: da uscente diventa entrante e il valore cambia segno. Il flusso fisico con normale uscente fissata non cambia soltanto perché riscriviamo il parametro: va mantenuta anche la scelta della normale. Questa è la versione piana; superfici e volumi arriveranno più avanti.
12. Leggere le due somme del laboratorio
A sinistra percorriamo ogni componente del bordo e sommiamo contributi ai punti medi. A destra dividiamo i parametri interni in n² celle, trasformandoli in punti della regione e usando il Jacobiano. Il programma non ricava un risultato dall’altro con la formula di Green: i due calcoli sono indipendenti.
ΔB_i=[P(r(t_i*))x′(t_i*)+Q(r(t_i*))y′(t_i*)]Δt_i
ΔI_ij=(Q_x−P_y)(x_ij,y_ij) J(u_i*,v_j*) Δu Δv
D={ρ≤R}: ρ=Ru, θ=2πv → J=2πR²u
D={r≤ρ≤R}: ρ=r+(R−r)u → J=2πρ(R−r)
Una cella di bordo viene aggiunta per passo; le strisce interne avanzano in proporzione. Non pretendiamo uguaglianza fra somme parziali: i frammenti selezionati non costituiscono il bordo chiuso della stessa sottoregione. Alla fine confrontiamo B con sI, dove s=1 nel verso positivo e s=−1 nel verso opposto. Per i casi non applicabili il confronto è disabilitato, non forzato.
13. Una verifica prima di calcolare
Il contorno è davvero chiuso e semplice, oppure composto dai bordi corretti di una regione con buchi? La regione resta a sinistra? Il campo è C¹ anche nell’interno e vicino al bordo? Ho calcolato Q_x−P_y, non P_x−Q_y? Se uso coordinate polari ho incluso il peso di area? Solo dopo questi controlli scelgo il lato più comodo da integrare.
Le dieci esperienze guidate servono a distinguere una formula vera, un’ipotesi mancante e un errore numerico. Le frecce campionate e le somme finite non costituiscono una dimostrazione generale. Dopo Green, la tappa 27 estenderà il linguaggio a superfici parametriche, area, normali e integrali di superficie.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Calcola la densità interna per F=(−y,x) e per F=(2x,2y).
Mostra la soluzione ragionata
Nel primo caso Q_x−P_y=1−(−1)=2. Nel secondo 0−0=0: è un gradiente, ma il campo non è nullo ovunque.
2. Rettangolo 2×1 con F=(−y,x): somma i quattro lati.
Mostra la soluzione ragionata
Basso 0, destra 2, alto 2, sinistra 0: B=4. Nel calcolo interno 2×Area=2×2=4. In alto P<0 e dx<0, quindi il contributo è positivo.
3. Inverti il bordo del rettangolo: B e I diventano entrambi negativi?
Mostra la soluzione ragionata
No: B passa da 4 a −4, I resta 4. Il confronto corretto è B=−I. Il verso della curva non rende negativa l’area geometrica.
4. F=(−y³,x³), rettangolo 2×1: valore esatto?
Mostra la soluzione ragionata
Densità 3x²+3y². I=ab(a²+b²)=2×1×(4+1)=10. Sul bordo destra a³b=8 e alto ab³=2, totale 10.
5. Triangolo (0,0),(3,0),(0,2), F=(−y,x): circolazione?
Mostra la soluzione ragionata
Area=3×2/2=3; densità 2, quindi B=6. L’ipotenusa orientata dal punto (3,0) a (0,2) dà tutto il contributo.
6. Ellisse di semiassi 3 e 2, F=(−y/2,x/2): che cosa misura B?
Mostra la soluzione ragionata
Q_x−P_y=1: misura l’area con il bordo positivo, πab=6π. Un altro campo, come (−y,x), avrebbe densità 2 e quindi il doppio della circolazione.
7. La formula dei vertici dà −3: l’area geometrica è negativa?
Mostra la soluzione ragionata
No: per un poligono semplice il segno indica l’orientamento. L’area geometrica è |−3|=3. Prima controlla che il contorno non si auto-intersechi.
8. Corona R=2, r=1 e F=(−y,x): i due bordi?
Mostra la soluzione ragionata
Esterno antiorario 8π; interno orario −2π. Totale 6π, uguale a 2×π(4−1). Percorrere entrambi antiorari darebbe il segno sbagliato per il bordo interno.
9. Campo angolare sulla corona: perché 2π non contraddice densità zero?
Mostra la soluzione ragionata
2π è solo il contributo esterno. Il bordo completo include −2π dall’interno: totale zero. Togliendo il bordo interno non stai più integrando su ∂D.
10. Campo angolare sul disco pieno: posso applicare Green perché la griglia evita l’origine?
Mostra la soluzione ragionata
No. Il campo non è definito nell’origine, che appartiene alla regione. Le ipotesi riguardano tutta la regione, non solo i punti campionati. La circolazione 2π rimane lecita, il passaggio al disco no.
11. F=(x,y), disco R=2: flusso uscente e verso inverso?
Mostra la soluzione ragionata
Densità P_x+Q_y=2, flusso uscente 8π. La formula Pdy−Qdx nel verso opposto usa la normale entrante e dà −8π. Se mantieni fissata la normale uscente, il flusso fisico resta 8π.
12. Rettangolo polinomiale: B=10 e I≈9,84375 per n=4. È una contraddizione?
Mostra la soluzione ragionata
No: il riferimento analitico è 10 da entrambi i lati. La regola dei punti medi sul quadrato ha ancora errore 0,15625. Aumentando n lo scarto tende a zero. Green non promette uguaglianza esatta fra due quadrature finite diverse.
Prima: integrali di linea, lavoro e potenziale · Indice del percorso