Due persone partono dallo stesso punto e arrivano nello stesso luogo, ma seguono strade diverse. La distanza percorsa può cambiare; il lavoro di una forza può cambiare oppure no. Per capire quando contano solo gli estremi dobbiamo distinguere che cosa stiamo sommando: lunghezze, masse o contributi orientati di un campo.
Integrali di linea: confronta due cammini · Indice del percorso
1. Gli ingredienti prima delle formule
C è una curva orientata da A a B; r(t)=(x(t),y(t)), a≤t≤b, la descrive nel verso scelto. r′(t) è il vettore tangente con la sua rapidità. Useremo curve regolari a tratti: si possono avere spigoli, purché si divida il calcolo nei tratti regolari. Il campo o la densità devono essere definiti lungo tutto il cammino.
ρ(x,y) è un numero, per esempio densità lineare in kg/m. F=(P,Q) è un vettore, per esempio una forza in newton. Integrare ρ rispetto alla lunghezza ds non è la stessa operazione che integrare F rispetto allo spostamento orientato dr. Nel primo caso misuriamo quanta quantità si trova sul filo; nel secondo quanto il campo contribuisce nella direzione del moto.
2. Integrale scalare: lunghezza e massa
Tagliamo il filo in piccoli pezzi di lunghezza Δs. Su ogni pezzo stimiamo la massa con densità×lunghezza; sommiamo e rendiamo i pezzi sempre più piccoli. Se r è derivabile, ds=|r′(t)|dt. Il modulo è indispensabile: una lunghezza non cambia segno quando percorri il filo al contrario.
∫C ρ ds = ∫[a,b] ρ(r(t)) |r′(t)| dt
ρ=1 → L(C)=∫[a,b] |r′(t)| dt
Esempio: r(t)=(t,t), 0≤t≤1, ha r′=(1,1), norma √2. Con ρ=1 la lunghezza è √2. Con ρ=1+x otteniamo massa ∫₀¹(1+t)√2 dt=√2[t+t²/2]₀¹=3√2/2. Il cammino inverso dà gli stessi valori. Un altro filo con gli stessi estremi può invece avere lunghezza e massa diverse.
3. Lavoro: conta la componente lungo il moto
Per un piccolo spostamento Δr, il contributo è F·Δr. Il punto indica il prodotto scalare: (P,Q)·(dx,dy)=Pdx+Qdy. Il contributo è positivo se il campo aiuta lo spostamento, negativo se lo ostacola, zero se è perpendicolare. Non si deve sostituire il prodotto scalare con |F|: si perderebbe il verso.
W=∫C F·dr=∫C P dx+Q dy
W=∫[a,b] F(r(t))·r′(t) dt
=∫[a,b] [P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)]dt
Se F è una forza in N e le coordinate sono metri, W è in N·m, cioè joule. Per un campo generico chiamiamo il risultato integrale di linea del campo, senza attribuirgli automaticamente unità fisiche di lavoro. In tre dimensioni si aggiunge la terza componente, con lo stesso ragionamento.
4. Una ricetta che non salta i passaggi
Ordine operativo: scrivi r(t) e l’intervallo; controlla gli estremi e il dominio; deriva le componenti; sostituisci x(t),y(t) in P,Q; fai il prodotto scalare; integra il risultato in t. Se la curva ha più tratti, ripeti e somma. Il parametro non scompare per magia: viene eliminato solo dopo l’integrazione definita.
F=(−y,x), r(t)=(t,t²), 0≤t≤1
r′(t)=(1,2t)
F(r(t))=(−t²,t)
F(r(t))·r′(t)=−t²×1+t×2t=t²
W=∫₀¹t²dt=[t³/3]₀¹=1/3
Questo singolo conto non dimostra ancora dipendenza dal percorso: serve un secondo cammino con gli stessi estremi. Lo costruiamo subito, senza cambiare il campo.
5. Stessi estremi, tre risultati diversi
Fissiamo A=(0,0), B=(1,1) e F=(−y,x). Il segmento diagonale è r₁(t)=(t,t); la parabola è r₂(t)=(t,t²), entrambi per 0≤t≤1. Per la spezzata facciamo prima (t,0), poi (1,t), ciascuno da 0 a 1.
C₁: F(r₁)=(−t,t), r₁′=(1,1)
W₁=∫₀¹(−t+t)dt=0
C₂: W₂=1/3
C₃: ∫₀¹(0,t)·(1,0)dt+∫₀¹(−t,1)·(0,1)dt
=0+∫₀¹1dt=1
Gli estremi e il campo sono identici, ma 0, 1/3 e 1 differiscono: questo campo non è conservativo su tutto il piano. Non occorre che ogni coppia di cammini dia risultati diversi; basta una coppia per smentire l’indipendenza globale dal percorso.
6. Verso e velocità del parametro
Un cambio di parametro crescente non cambia il valore, se ripercorriamo la stessa curva lo stesso numero di volte: il fattore della catena viene compensato dal cambio di variabile nell’integrale. Cambiare il verso, invece, cambia il segno del lavoro. Non cambia l’integrale scalare rispetto a ds.
r(t)=c(h(t)) → r′(t)=c′(h(t))h′(t)
W(−C)=−W(C)
∫[−C] ρ ds=∫C ρ ds
Nel laboratorio s=t² è una partenza lenta su [0,1]. Se invertiamo anche il verso usiamo s=1−t² e ds/dt=−2t. Non basta sostituire il punto: bisogna cambiare anche la derivata. Due giri, invece di uno, contano due volte: non è una semplice riscrittura dello stesso percorso con la stessa molteplicità.
7. Potenziale: una funzione dietro il campo
Un campo è conservativo sul dominio D se esiste una funzione scalare φ con F=∇φ. Il simbolo ∇ indica il gradiente: nel piano ∇φ=(φ_x,φ_y), le due derivate parziali. φ è un potenziale matematico; aggiungere una costante non cambia il gradiente. Serve un potenziale definito su tutto il dominio considerato, non soltanto in un piccolo tratto.
φ=x²+y² → ∇φ=(2x,2y)
φ=x²y+y² → ∇φ=(2xy,x²+2y)
Attenzione al linguaggio fisico: per l’energia potenziale U di una forza conservativa si usa spesso F=−∇U. Qui adottiamo F=∇φ, dunque φ=−U a meno di una costante. Il segno del lavoro non cambia per convenzione: cambia il nome della funzione che stiamo usando.
8. Perché il potenziale elimina il percorso
Componiamo φ con la curva: φ(r(t)). La regola della catena dice che la sua derivata è il prodotto scalare fra gradiente e r′. Se il campo è proprio quel gradiente, l’integrando del lavoro è una derivata. Il teorema fondamentale del calcolo conclude il ragionamento. Assumiamo φ continuamente differenziabile e curva regolare a tratti nel dominio.
d[φ(x(t),y(t))]/dt=φ_x x′+φ_y y′=F(r(t))·r′(t)
W=∫[a,b] d[φ(r(t))]/dt dt
=φ(r(b))−φ(r(a))
=φ(B)−φ(A)
Per F=(2x,2y), A=(0,0), B=(1,1), risulta W=(1²+1²)−0=2 su segmento, parabola e spezzata. Non stiamo dicendo che abbiano la stessa lunghezza. Con F=−∇U la stessa formula si legge W=U(A)−U(B).
9. Ricostruire φ, senza indovinarla
Prendiamo F=(2xy,x²+2y). Da φ_x=2xy integriamo rispetto a x, trattando y come una costante. La «costante» d’integrazione può dipendere da y: scriviamo g(y), non solo C. Poi deriviamo rispetto a y e confrontiamo con la seconda componente del campo.
φ_x=2xy → φ(x,y)=x²y+g(y)
φ_y=x²+g′(y)
x²+g′(y)=x²+2y → g′(y)=2y
g(y)=y²+C
φ(x,y)=x²y+y²+C
∇φ=(2xy,x²+2y) ✓
W=φ(1,1)−φ(0,0)=(1+1+C)−C=2
Il controllo finale del gradiente evita di accettare una primitiva incompleta. Sul segmento r=(t,t) puoi verificare direttamente: F(r)·r′=3t²+2t, integrale [t³+t²]₀¹=2. La somma numerica ai punti medi può non dare esattamente 2 con pochi passi: è un’approssimazione, non una confutazione del teorema.
10. Il controllo delle derivate richiede un dominio
Per F=(P,Q) con derivate prime continue, un campo conservativo deve soddisfare P_y=Q_x. L’uguaglianza diventa anche sufficiente se il dominio è aperto e semplicemente connesso: ogni curva chiusa può essere contratta a un punto restando nel dominio. Nel piano pensa a un dominio connesso senza buchi, ma non dimenticare l’ipotesi di apertura e regolarità del campo.
F=(2xy,x²+2y): P_y=2x=Q_x; D=ℝ²; φ=x²y+y²
F=(−y,x): P_y=−1 ≠ Q_x=1
Se le derivate non coincidono, il campo non è conservativo sul dominio. Se coincidono ma manca la semplice connessione, il test non conclude: bisogna cercare un potenziale globale o studiare circuiti. Un buco non rende automaticamente non conservativo ogni campo: (2x,2y) conserva φ=x²+y² anche sul piano privato dell’origine.
11. Il controesempio del piano bucato
Consideriamo F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)) su D=ℝ² senza l’origine. Le derivate P_y e Q_x sono uguali, ma la circonferenza unitaria circonda il punto escluso. Sostituiamo il cerchio nella formula senza applicare teoremi su un dominio che non possediamo.
P_y=Q_x=(y²−x²)/(x²+y²)²
r(t)=(cos t,sin t), 0≤t≤2π
F(r(t))=(−sin t,cos t)=r′(t)
F(r(t))·r′(t)=sin²t+cos²t=1
∮C F·dr=∫₀²π1dt=2π≠0
Non esiste quindi un potenziale globale su D. Fra (1,0) e (−1,0), il semicerchio superiore orientato in senso antiorario dà π; quello inferiore, percorso in senso orario, dà −π. Il diametro non è un’alternativa ammessa: passa per l’origine dove F non esiste. Non possiamo assegnargli zero ignorando quel punto.
12. Circuiti chiusi: che cosa dimostra lo zero?
Per un campo continuo su un dominio aperto connesso, indipendenza dal cammino, esistenza di un potenziale e integrale nullo su ogni circuito chiuso regolare a tratti sono proprietà equivalenti. «Ogni» è la parola importante: un circuito con lavoro zero non basta, uno con lavoro non zero basta a smentire il potenziale globale.
F=∇φ, A=B → W=φ(A)−φ(A)=0
F=(−y,x), r(t)=(Rcos t,Rsin t)
F(r)·r′=R² → W=2πR²
Nel campo radiale (2x,2y) il lavoro su un cerchio è zero, pur avendo frecce non nulle. Nel campo rotazionale vale 2πR², e due giri danno 4πR². Questo prepara la tappa successiva sulla circolazione e sul teorema di Green, senza usarlo in anticipo come una scorciatoia non spiegata.
13. Leggere il laboratorio senza farsi ingannare
Inizia dal campo radiale, con segmento e parabola. I riferimenti esatti sono entrambi 2, mentre le somme ai punti medi possono differire. Aumenta n: la differenza numerica si riduce. Passa alla rotazione: i riferimenti esatti sono 0 e 1/3, quindi la differenza non è un difetto della griglia. Inverti i cammini e controlla i segni.
t_i*=(t_i+t_(i+1))/2
g_i^F=F(r(t_i*))·r′(t_i*)
g_i^ρ=ρ(r(t_i*))|r′(t_i*)|
ΔI_i=g_i Δt_i
S_k=ΔI_1+…+ΔI_k
Ogni passo mostra punto, vettori o densità, integrando, ampiezza e contributo. Per una spezzata dividiamo esattamente nello spigolo, anche con s=t². La tabella di convergenza confronta con formule note dei casi guidati: non è un certificato generale d’errore e il laboratorio non trova potenziali di espressioni libere. Gli estremi diversi e i cammini fuori dominio sono segnalati esplicitamente.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Lunghezza del segmento r(t)=(t,t), 0≤t≤1?
Mostra la soluzione ragionata
r′=(1,1), |r′|=√2. L=∫₀¹√2 dt=√2. Il verso inverso dà la stessa lunghezza.
2. Massa dello stesso filo con ρ=1+x?
Mostra la soluzione ragionata
Sulla curva ρ=1+t. M=√2∫₀¹(1+t)dt=√2(1+1/2)=3√2/2. Non usiamo un prodotto scalare con un campo di forze.
3. F=(−y,x) sul segmento diagonale: lavoro?
Mostra la soluzione ragionata
r=(t,t), r′=(1,1), F(r)=(−t,t). Prodotto −t+t=0, quindi lavoro zero, anche se F è non nullo per t>0.
4. Lo stesso campo sulla parabola (t,t²)?
Mostra la soluzione ragionata
r′=(1,2t), F(r)=(−t²,t). Prodotto −t²+2t²=t². W=∫₀¹t²dt=1/3. Gli estremi sono gli stessi del segmento: abbiamo una vera dipendenza dal percorso.
5. Ricostruisci φ per F=(2xy,x²+2y).
Mostra la soluzione ragionata
Da φ_x=2xy ricaviamo φ=x²y+g(y). Poi φ_y=x²+g′=x²+2y, dunque g′=2y, g=y²+C. Quindi φ=x²y+y²+C; il suo gradiente restituisce entrambe le componenti.
6. Con quel potenziale, lavoro da (0,0) a (1,1)?
Mostra la soluzione ragionata
φ(1,1)−φ(0,0)=(1+1+C)−C=2 su ogni cammino ammesso. La somma numerica con n finito può essere diversa da 2: confronta l’errore, non solo le cifre mostrate.
7. Inverti la parabola del campo rotazionale: lavoro e lunghezza?
Mostra la soluzione ragionata
Il lavoro diventa −1/3. La lunghezza rimane uguale: nel lavoro cambia il segno di dr, nella lunghezza compare |r′|. Sono due integrali diversi.
8. P_y=Q_x basta sempre a trovare un potenziale globale?
Mostra la soluzione ragionata
No. Con derivate continue è sufficiente su un dominio aperto semplicemente connesso. Su un dominio bucato il test può essere inconcludente: il campo angolare del laboratorio ha derivate uguali ma circolazione 2π sul cerchio.
9. I due semicerchi da (1,0) a (−1,0) nel campo angolare?
Mostra la soluzione ragionata
Superiore antiorario: π. Inferiore orario: −π. La differenza è 2π con gli stessi estremi. Il diametro attraversa l’origine esclusa: non è un terzo cammino ammesso.
10. F=(−y,x), cerchio di raggio 2: un giro e due giri?
Mostra la soluzione ragionata
Un giro dà 2πR²=8π; due danno 16π. Il numero di percorrenze conta; non è soltanto una diversa velocità dello stesso singolo giro.
11. Il campo radiale fa lavoro su un cerchio?
Mostra la soluzione ragionata
Per F=(2x,2y) il potenziale è x²+y². Sul cerchio gli estremi coincidono, quindi W=0. Le frecce non sono nulle: sono perpendicolari allo spostamento tangente.
12. Due somme numeriche 1,999 e 1,998 dimostrano percorsi diversi?
Mostra la soluzione ragionata
No. Possono approssimare lo stesso valore esatto 2. Bisogna conoscere il riferimento o controllare la convergenza; pochi decimali diversi non sono una dimostrazione. Il laboratorio separa differenze analitiche e numeriche.
Prima: curve parametriche e campi vettoriali · Indice del percorso