Même départ et arrivée, mais deux routes différentes. La distance peut changer ; le travail d’une force aussi, ou non. Pour savoir quand seules les extrémités comptent, distinguer longueurs, masses et contributions orientées d’un champ.
Intégrales curvilignes : comparer deux chemins · Index du parcours
1. Les ingrédients avant les formules
C est une courbe orientée de A à B, r(t)=(x(t),y(t)), a≤t≤b. r′(t) est le vecteur tangent avec sa norme. Courbes régulières par morceaux : coins admis en séparant les calculs. Champ ou densité doivent être définis sur tout le chemin.
ρ(x,y) est un nombre, par exemple densité linéaire en kg/m. F=(P,Q) est un vecteur, par exemple force en newtons. Intégrer ρ avec ds, longueur, diffère d’intégrer F avec dr, déplacement orienté. Quantité sur un fil d’un côté, contribution dans le mouvement de l’autre.
2. Intégrale scalaire : longueur et masse
Découper le fil en longueurs Δs. Masse approximative de chaque morceau : densité×longueur ; sommer et raffiner. Si r est dérivable, ds=|r′(t)|dt. La norme est essentielle : la longueur ne change pas de signe en sens inverse.
∫C ρ ds = ∫[a,b] ρ(r(t)) |r′(t)| dt
ρ=1 → L(C)=∫[a,b] |r′(t)| dt
Exemple : r(t)=(t,t), 0≤t≤1, r′=(1,1), norme √2. Pour ρ=1, longueur √2. Pour ρ=1+x, masse ∫₀¹(1+t)√2 dt=√2[t+t²/2]₀¹=3√2/2. Même résultat en sens inverse ; un autre fil aux mêmes extrémités peut avoir d’autres longueur et masse.
3. Travail : la composante selon le mouvement
Pour un déplacement Δr, contribution F·Δr. Le point est le produit scalaire : (P,Q)·(dx,dy)=Pdx+Qdy. Positif si le champ aide, négatif s’il s’oppose, nul s’il est perpendiculaire. Remplacer par |F| ferait perdre le sens.
W=∫C F·dr=∫C P dx+Q dy
W=∫[a,b] F(r(t))·r′(t) dt
=∫[a,b] [P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)]dt
Force en N et coordonnées en mètres : W en N·m, joules. Pour un champ générique, c’est une intégrale curviligne, pas forcément un travail physique. En trois dimensions, ajouter la troisième composante de la même façon.
4. Une recette sans étapes sautées
Ordre : écrire r(t) et intervalle ; vérifier extrémités et domaine ; dériver ; remplacer x,y dans P,Q ; produit scalaire ; intégrer en t. Pour plusieurs morceaux, répéter puis sommer. Le paramètre disparaît seulement après l’intégration définie.
F=(−y,x), r(t)=(t,t²), 0≤t≤1
r′(t)=(1,2t)
F(r(t))=(−t²,t)
F(r(t))·r′(t)=−t²×1+t×2t=t²
W=∫₀¹t²dt=[t³/3]₀¹=1/3
Ce calcul seul ne prouve pas la dépendance du chemin : comparer un autre chemin aux mêmes extrémités, sans changer le champ.
5. Mêmes extrémités, trois résultats
Fixer A=(0,0), B=(1,1), F=(−y,x). Segment r₁(t)=(t,t), parabole r₂(t)=(t,t²), 0≤t≤1. Ligne brisée : (t,0) puis (1,t), chacun de 0 à 1.
C₁: F(r₁)=(−t,t), r₁′=(1,1)
W₁=∫₀¹(−t+t)dt=0
C₂: W₂=1/3
C₃: ∫₀¹(0,t)·(1,0)dt+∫₀¹(−t,1)·(0,1)dt
=0+∫₀¹1dt=1
Mêmes extrémités et champ, mais 0, 1/3 et 1 diffèrent : ce champ n’est pas conservatif dans le plan. Une seule paire différente suffit à réfuter l’indépendance globale.
6. Sens et vitesse du paramètre
Un reparamétrage croissant conserve la valeur pour le même parcours avec même multiplicité : le facteur de chaîne est pris en compte par substitution. Inverser le sens change le signe du travail, pas l’intégrale scalaire en ds.
r(t)=c(h(t)) → r′(t)=c′(h(t))h′(t)
W(−C)=−W(C)
∫[−C] ρ ds=∫C ρ ds
Le laboratoire utilise s=t² sur [0,1]. En sens inverse : s=1−t² et ds/dt=−2t. Modifier le point et la dérivée. Deux tours comptent deux fois : ce n’est pas le même parcours avec même multiplicité.
7. Potentiel : une fonction derrière le champ
Un champ est conservatif sur D s’il existe φ avec F=∇φ. Gradient ∇φ=(φ_x,φ_y), les dérivées partielles. φ est un potentiel mathématique, inchangé à une constante près. Il doit exister sur tout le domaine, pas seulement localement.
φ=x²+y² → ∇φ=(2x,2y)
φ=x²y+y² → ∇φ=(2xy,x²+2y)
En physique, l’énergie potentielle U utilise souvent F=−∇U. Ici F=∇φ, donc φ=−U à constante près. Le travail ne change pas avec la notation ; la fonction nommée potentiel change.
8. Pourquoi le potentiel élimine le chemin
Composer φ avec r(t). La chaîne donne le produit scalaire gradient·r′. Si le champ est ce gradient, l’intégrande du travail est une dérivée. Le théorème fondamental conclut. φ est continûment différentiable, courbe régulière par morceaux dans son domaine.
d[φ(x(t),y(t))]/dt=φ_x x′+φ_y y′=F(r(t))·r′(t)
W=∫[a,b] d[φ(r(t))]/dt dt
=φ(r(b))−φ(r(a))
=φ(B)−φ(A)
Pour F=(2x,2y), A=(0,0), B=(1,1), W=(1²+1²)−0=2 sur les trois chemins, sans égalité des longueurs. Avec F=−∇U : W=U(A)−U(B).
9. Reconstruire φ sans deviner
Prendre F=(2xy,x²+2y). Intégrer φ_x=2xy en x, y constant. La « constante » peut dépendre de y : g(y), pas seulement C. Dériver en y et comparer à la seconde composante.
φ_x=2xy → φ(x,y)=x²y+g(y)
φ_y=x²+g′(y)
x²+g′(y)=x²+2y → g′(y)=2y
g(y)=y²+C
φ(x,y)=x²y+y²+C
∇φ=(2xy,x²+2y) ✓
W=φ(1,1)−φ(0,0)=(1+1+C)−C=2
Vérifier le gradient évite une primitive incomplète. Sur r=(t,t), F(r)·r′=3t²+2t, donc [t³+t²]₀¹=2. Une somme grossière aux milieux peut différer de 2 : approximation, pas réfutation du théorème.
10. Le test des dérivées exige un domaine
Pour F=(P,Q) à dérivées premières continues, un champ conservatif satisfait P_y=Q_x. Suffisant sur domaine ouvert simplement connexe : chaque courbe fermée se contracte en un point dans le domaine. Dans le plan, région connexe sans trous, avec hypothèses d’ouverture et régularité.
F=(2xy,x²+2y): P_y=2x=Q_x; D=ℝ²; φ=x²y+y²
F=(−y,x): P_y=−1 ≠ Q_x=1
Dérivées différentes : pas conservatif. Égales sans simple connexité : test non concluant ; chercher potentiel global ou circuits. Un trou ne rend pas tout champ non conservatif : (2x,2y) garde φ=x²+y² sur le plan privé de l’origine.
11. Le contre-exemple du plan troué
F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)) sur le plan sans origine. P_y=Q_x, mais le cercle unité entoure le point exclu. Calculer directement, sans appliquer un théorème dont les hypothèses de domaine manquent.
P_y=Q_x=(y²−x²)/(x²+y²)²
r(t)=(cos t,sin t), 0≤t≤2π
F(r(t))=(−sin t,cos t)=r′(t)
F(r(t))·r′(t)=sin²t+cos²t=1
∮C F·dr=∫₀²π1dt=2π≠0
Pas de potentiel global sur D. De (1,0) à (−1,0), demi-cercle supérieur direct : π ; inférieur horaire : −π. Diamètre interdit car F n’existe pas à l’origine. Ignorer ce point et attribuer zéro n’est pas valable.
12. Circuits fermés : que prouve zéro ?
Pour un champ continu sur domaine ouvert connexe, indépendance du chemin, potentiel et intégrale nulle sur tout circuit fermé régulier par morceaux sont équivalents. « Tout » compte : un circuit nul ne suffit pas ; un non nul réfute le potentiel global.
F=∇φ, A=B → W=φ(A)−φ(A)=0
F=(−y,x), r(t)=(Rcos t,Rsin t)
F(r)·r′=R² → W=2πR²
Pour (2x,2y), travail circulaire nul malgré des vecteurs non nuls. Pour le champ tournant, 2πR² ; deux tours, 4πR². Cela prépare circulation et Green, sans raccourci inexpliqué.
13. Lire le laboratoire sans se tromper
Commencer par champ radial, segment et parabole. Références exactes 2 et 2, sommes aux milieux parfois différentes. Augmenter n réduit l’écart numérique. Rotation : références 0 et 1/3, différence réelle. Inverser les chemins et vérifier les signes.
t_i*=(t_i+t_(i+1))/2
g_i^F=F(r(t_i*))·r′(t_i*)
g_i^ρ=ρ(r(t_i*))|r′(t_i*)|
ΔI_i=g_i Δt_i
S_k=ΔI_1+…+ΔI_k
Chaque pas montre point, vecteurs ou densité, intégrande, largeur et contribution. Coupure exacte aux coins, même avec s=t². Convergence vers des formules connues, pas certificat général d’erreur ni solveur de potentiels libres. Extrémités différentes et chemins hors domaine signalés.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Longueur de r(t)=(t,t), 0≤t≤1 ?
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r′=(1,1), |r′|=√2. L=∫₀¹√2 dt=√2. Même longueur en sens inverse.
2. Masse du même fil pour ρ=1+x ?
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Sur la courbe ρ=1+t. M=√2∫₀¹(1+t)dt=√2(1+1/2)=3√2/2. Pas de produit avec un champ de forces.
3. F=(−y,x) sur la diagonale : travail ?
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r=(t,t), r′=(1,1), F(r)=(−t,t). Produit −t+t=0, travail nul malgré F non nul pour t>0.
4. Même champ sur (t,t²) ?
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r′=(1,2t), F(r)=(−t²,t). Produit t² ; W=∫₀¹t²dt=1/3. Mêmes extrémités : vraie dépendance du chemin.
5. Reconstruire φ pour F=(2xy,x²+2y).
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φ_x=2xy donne φ=x²y+g(y). Puis φ_y=x²+g′=x²+2y, donc g′=2y et g=y²+C. φ=x²y+y²+C ; vérifier les deux composantes.
6. Avec ce potentiel, travail de (0,0) à (1,1) ?
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φ(1,1)−φ(0,0)=(1+1+C)−C=2 sur tout chemin admis. Sommes finies parfois différentes de 2 : regarder l’erreur.
7. Inverser la parabole dans le champ tournant : travail et longueur ?
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Travail −1/3, longueur inchangée : signe de dr inversé pour le travail, norme |r′| pour longueur. Deux intégrales différentes.
8. P_y=Q_x suffit-il toujours au potentiel global ?
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Non. Dérivées continues et domaine ouvert simplement connexe donnent la suffisance. Sur domaine troué, test parfois non concluant : champ angulaire, dérivées égales mais intégrale circulaire 2π.
9. Les deux demi-cercles de (1,0) à (−1,0) dans le champ angulaire ?
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Supérieur direct : π. Inférieur horaire : −π. Écart 2π à extrémités fixées. Diamètre interdit : origine exclue.
10. F=(−y,x), cercle de rayon 2 : un tour et deux ?
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Un tour : 2πR²=8π ; deux : 16π. Multiplicité du parcours importante, pas simple vitesse différente.
11. Le champ radial travaille-t-il sur un cercle ?
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Pour F=(2x,2y), potentiel x²+y². Extrémités égales, W=0. Vecteurs non nuls mais perpendiculaires au déplacement tangent.
12. Les sommes 1,999 et 1,998 prouvent-elles la dépendance ?
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Non. Elles peuvent approcher la même valeur exacte 2. Référence ou convergence nécessaires ; décimales différentes ne prouvent rien. Le laboratoire sépare écarts analytiques et numériques.
Avant : courbes paramétrées et champs vectoriels · Index du parcours