Mismo inicio y destino, pero dos rutas distintas. Distancia puede cambiar; trabajo de fuerza puede cambiar o no. Para entender cuándo solo importan extremos, distinguir longitudes, masas y contribuciones orientadas del campo.
Integrales de línea: comparar dos caminos · Índice del recorrido
1. Ingredientes antes de fórmulas
C es curva orientada de A a B, r(t)=(x(t),y(t)), a≤t≤b. r′(t) es vector tangente con su rapidez. Usamos curvas regulares a trozos: esquinas admitidas separando cálculos. Campo o densidad deben estar definidos en todo camino.
ρ(x,y) es número, como densidad lineal kg/m. F=(P,Q) es vector, como fuerza en newtons. Integrar ρ con longitud ds difiere de integrar F con desplazamiento orientado dr. Uno mide cantidad en hilo; otro contribución a lo largo del movimiento.
2. Integral escalar: longitud y masa
Dividir hilo en longitudes Δs. Masa aproximada de cada trozo: densidad×longitud; sumar y refinar. Para r derivable, ds=|r′(t)|dt. Módulo esencial: longitud no cambia signo al invertir sentido.
∫C ρ ds = ∫[a,b] ρ(r(t)) |r′(t)| dt
ρ=1 → L(C)=∫[a,b] |r′(t)| dt
Ejemplo: r(t)=(t,t), 0≤t≤1, r′=(1,1), módulo √2. Para ρ=1 longitud √2. Para ρ=1+x masa ∫₀¹(1+t)√2 dt=√2[t+t²/2]₀¹=3√2/2. Inversión da mismo valor; otro hilo con mismos extremos puede tener longitud y masa distintas.
3. Trabajo: componente a lo largo del movimiento
Para desplazamiento Δr, contribución F·Δr. Punto indica producto escalar: (P,Q)·(dx,dy)=Pdx+Qdy. Positivo si campo ayuda, negativo si se opone, cero si perpendicular. Sustituir por |F| pierde dirección.
W=∫C F·dr=∫C P dx+Q dy
W=∫[a,b] F(r(t))·r′(t) dt
=∫[a,b] [P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)]dt
Fuerza en N y coordenadas en metros: W en N·m, joules. Para campo genérico es integral de línea, no necesariamente trabajo físico. En tres dimensiones añadir tercera componente del mismo modo.
4. Receta sin saltar pasos
Orden: escribir r(t) e intervalo; revisar extremos y dominio; derivar; sustituir x,y en P,Q; producto escalar; integrar en t. Para varios tramos repetir y sumar. Parámetro desaparece solo después de integral definida.
F=(−y,x), r(t)=(t,t²), 0≤t≤1
r′(t)=(1,2t)
F(r(t))=(−t²,t)
F(r(t))·r′(t)=−t²×1+t×2t=t²
W=∫₀¹t²dt=[t³/3]₀¹=1/3
Un cálculo solo no prueba dependencia: comparar otro camino con mismos extremos y mismo campo.
5. Mismos extremos, tres resultados
Fijar A=(0,0), B=(1,1), F=(−y,x). Segmento r₁(t)=(t,t), parábola r₂(t)=(t,t²), 0≤t≤1. Quebrada: (t,0) y luego (1,t), cada uno de 0 a 1.
C₁: F(r₁)=(−t,t), r₁′=(1,1)
W₁=∫₀¹(−t+t)dt=0
C₂: W₂=1/3
C₃: ∫₀¹(0,t)·(1,0)dt+∫₀¹(−t,1)·(0,1)dt
=0+∫₀¹1dt=1
Mismos extremos y campo, pero 0, 1/3 y 1 difieren: campo no conservativo en plano. No toda pareja debe diferir: un contraejemplo refuta independencia global.
6. Sentido y rapidez del parámetro
Reparametrización creciente conserva valor del mismo recorrido con misma multiplicidad: factor de cadena se compensa con cambio de variable. Inversión cambia signo de trabajo, no integral escalar con ds.
r(t)=c(h(t)) → r′(t)=c′(h(t))h′(t)
W(−C)=−W(C)
∫[−C] ρ ds=∫C ρ ds
Laboratorio usa s=t² en [0,1]. Inversión: s=1−t² y ds/dt=−2t. Cambiar punto y derivada. Dos vueltas cuentan dos veces: no es misma multiplicidad de recorrido.
7. Potencial: función detrás del campo
Campo conservativo en D si existe φ con F=∇φ. Gradiente ∇φ=(φ_x,φ_y), derivadas parciales. φ es potencial matemático; constante añadida no cambia gradiente. Debe existir en todo dominio, no solo localmente.
φ=x²+y² → ∇φ=(2x,2y)
φ=x²y+y² → ∇φ=(2xy,x²+2y)
En física energía potencial U suele usar F=−∇U. Aquí F=∇φ, luego φ=−U salvo constante. Trabajo no cambia por notación; cambia función llamada potencial.
8. Por qué potencial elimina dependencia
Componer φ con r(t). Cadena da producto escalar gradiente·r′. Si campo es ese gradiente, integrando de trabajo es derivada. Teorema fundamental concluye. φ continuamente diferenciable y curva regular a trozos en dominio.
d[φ(x(t),y(t))]/dt=φ_x x′+φ_y y′=F(r(t))·r′(t)
W=∫[a,b] d[φ(r(t))]/dt dt
=φ(r(b))−φ(r(a))
=φ(B)−φ(A)
Para F=(2x,2y), A=(0,0), B=(1,1), W=(1²+1²)−0=2 en tres caminos, sin igualdad de longitudes. Con F=−∇U: W=U(A)−U(B).
9. Reconstruir φ sin adivinar
Tomar F=(2xy,x²+2y). Integrar φ_x=2xy en x, tratando y constante. «Constante» puede depender de y: g(y), no solo C. Derivar en y y comparar segunda componente.
φ_x=2xy → φ(x,y)=x²y+g(y)
φ_y=x²+g′(y)
x²+g′(y)=x²+2y → g′(y)=2y
g(y)=y²+C
φ(x,y)=x²y+y²+C
∇φ=(2xy,x²+2y) ✓
W=φ(1,1)−φ(0,0)=(1+1+C)−C=2
Verificar gradiente evita primitiva incompleta. En r=(t,t), F(r)·r′=3t²+2t, integral [t³+t²]₀¹=2. Suma gruesa en puntos medios puede diferir de 2: aproximación, no refutación de teorema.
10. Prueba de derivadas exige dominio
Para F=(P,Q) con parciales primeras continuas, campo conservativo cumple P_y=Q_x. Es suficiente en dominio abierto simplemente conexo: curvas cerradas se contraen a punto dentro de dominio. En plano, región conexa sin agujeros, manteniendo apertura y regularidad.
F=(2xy,x²+2y): P_y=2x=Q_x; D=ℝ²; φ=x²y+y²
F=(−y,x): P_y=−1 ≠ Q_x=1
Parciales distintas excluyen conservatividad. Iguales sin conexión simple: prueba inconclusa; buscar potencial global o circuitos. Un agujero no hace todo campo no conservativo: (2x,2y) conserva φ=x²+y² en plano sin origen.
11. Contraejemplo del plano perforado
F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)) en plano sin origen. P_y=Q_x, pero círculo unitario rodea punto excluido. Calcular directamente, sin aplicar teorema cuyo dominio no cumple hipótesis.
P_y=Q_x=(y²−x²)/(x²+y²)²
r(t)=(cos t,sin t), 0≤t≤2π
F(r(t))=(−sin t,cos t)=r′(t)
F(r(t))·r′(t)=sin²t+cos²t=1
∮C F·dr=∫₀²π1dt=2π≠0
No hay potencial global en D. De (1,0) a (−1,0), semicírculo superior antihorario da π e inferior horario −π. Diámetro no admisible porque F no existe en origen. Ignorar punto y asignar cero no es válido.
12. Circuitos cerrados: ¿qué demuestra cero?
Para campo continuo en dominio abierto conexo, independencia de camino, potencial e integral cero en todo circuito cerrado regular a trozos son equivalentes. «Todo» importa: un circuito cero no basta; uno no cero refuta potencial global.
F=∇φ, A=B → W=φ(A)−φ(A)=0
F=(−y,x), r(t)=(Rcos t,Rsin t)
F(r)·r′=R² → W=2πR²
En (2x,2y), trabajo circular cero pese a flechas no nulas. En rotacional, 2πR²; dos vueltas, 4πR². Prepara circulación y Green sin atajo inexplicado.
13. Leer laboratorio sin confundirse
Empezar por campo radial, segmento y parábola. Referencias exactas 2 y 2, sumas numéricas distintas. Aumentar n reduce error. Rotación: referencias 0 y 1/3, diferencia real. Invertir caminos y verificar signos.
t_i*=(t_i+t_(i+1))/2
g_i^F=F(r(t_i*))·r′(t_i*)
g_i^ρ=ρ(r(t_i*))|r′(t_i*)|
ΔI_i=g_i Δt_i
S_k=ΔI_1+…+ΔI_k
Cada paso muestra punto, vectores o densidad, integrando, ancho y contribución. Cortar exactamente esquinas incluso con s=t². Convergencia frente a fórmulas conocidas, no cota certificada general ni solucionador de potenciales libres. Se señalan extremos distintos y caminos fuera de dominio.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. ¿Longitud de r(t)=(t,t), 0≤t≤1?
2. ¿Masa del mismo hilo con ρ=1+x?
Mostrar la solución razonada
Sobre curva ρ=1+t. M=√2∫₀¹(1+t)dt=√2(1+1/2)=3√2/2. Sin producto con campo de fuerzas.
3. F=(−y,x) en diagonal: ¿trabajo?
Mostrar la solución razonada
r=(t,t), r′=(1,1), F(r)=(−t,t). Producto −t+t=0, trabajo cero pese a F no nulo para t>0.
4. ¿Mismo campo en (t,t²)?
Mostrar la solución razonada
r′=(1,2t), F(r)=(−t²,t). Producto t²; W=∫₀¹t²dt=1/3. Mismos extremos: dependencia real del camino.
5. Hallar φ para F=(2xy,x²+2y).
Mostrar la solución razonada
φ_x=2xy da φ=x²y+g(y). Luego φ_y=x²+g′=x²+2y, así g′=2y y g=y²+C. φ=x²y+y²+C; verificar ambas componentes.
6. Con ese potencial, ¿trabajo de (0,0) a (1,1)?
Mostrar la solución razonada
φ(1,1)−φ(0,0)=(1+1+C)−C=2 en todo camino admisible. Sumas finitas pueden diferir de 2: revisar error.
7. Invertir parábola en campo rotacional: ¿trabajo y longitud?
Mostrar la solución razonada
Trabajo −1/3, longitud igual: dr cambia signo en trabajo, longitud usa |r′|. Son integrales distintas.
8. ¿P_y=Q_x siempre implica potencial global?
Mostrar la solución razonada
No. Parciales continuas y dominio abierto simplemente conexo dan suficiencia. En dominio perforado prueba puede no concluir: campo angular con parciales iguales e integral circular 2π.
9. ¿Dos semicírculos de (1,0) a (−1,0) en campo angular?
Mostrar la solución razonada
Superior antihorario: π. Inferior horario: −π. Diferencia 2π con mismos extremos. Diámetro cruza origen excluido y no es admisible.
10. F=(−y,x), círculo radio 2: ¿una y dos vueltas?
Mostrar la solución razonada
Una vuelta: 2πR²=8π; dos: 16π. Importa multiplicidad, no solo rapidez distinta.
11. ¿Campo radial hace trabajo en círculo?
Mostrar la solución razonada
Para F=(2x,2y), potencial x²+y². Extremos coinciden, W=0. Flechas no nulas, perpendiculares a desplazamiento tangente.
12. ¿Sumas 1,999 y 1,998 prueban dependencia?
Mostrar la solución razonada
No. Ambas pueden aproximar valor exacto 2. Hace falta referencia o convergencia; decimales distintos no prueban nada. Laboratorio separa diferencias analíticas y numéricas.
Antes: curvas paramétricas y campos vectoriales · Índice del recorrido