Una carretera es forma geométrica; un viaje añade posición a cada instante. Un mapa del viento añade flecha a cada lugar. El cuarto bloque, Cálculo vectorial, distingue curva, movimiento y campo. Antes de nuevas integrales, aprender a leer vectores.
Curvas y campos: laboratorio vectorial · Índice del recorrido
1. De número a posición
Función escalar devuelve número, como temperatura f(x,y). Función vectorial devuelve pareja o terna: r(t)=(x(t),y(t)) o r(t)=(x(t),y(t),z(t)). t es parámetro; si representa tiempo, r(t) es posición. Evaluar componentes por separado con mismo t.
r(t)=(−2+t, −1+t/2), 0≤t≤4
r(0)=(−2,−1)
r(1)=(−2+1,−1+1/2)=(−1,−1/2)
r(4)=(2,1)
Vector posición parte de origen y llega al punto. Vector velocidad se dibuja en ese punto: no confundirlos. Coordenadas en metros y t en segundos dan unidades distintas.
2. Curva, parámetro y sentido
Traza es conjunto de puntos; parametrización añade orden y rapidez de recorrido. Intervalo también cuenta. r(t)=(cos t,sin t), 0≤t≤2π, recorre círculo unitario una vez en sentido antihorario: derecha en 0, arriba en π/2. Ángulos en radianes.
x=cos t, y=sin t → x²+y²=cos²t+sin²t=1
Eliminar t da relación geométrica pero pierde sentido y a veces porción recorrida. Círculo no es globalmente y=f(x): un x puede tener dos y. Extremos iguales indican curva cerrada, no ausencia de autointersecciones ni una sola vuelta.
3. Derivada es velocidad vectorial
Entre t y t+Δt, desplazamiento r(t+Δt)−r(t). Dividir por Δt da velocidad media, desplazamiento por unidad de tiempo. Al tender Δt a cero obtenemos velocidad instantánea. Derivar componentes, no dibujo entero como y=f(x).
v(t)=r′(t)=(x′(t),y′(t),z′(t))
r(t)=(−2+t,−1+t/2) → v(t)=(1,1/2)
|v(t)|=√(1²+(1/2)²)=√5/2≈1.118034
Rapidez |v| es número no negativo; velocidad v incluye dirección y sentido. Si t no es tiempo físico, r′ es variación por unidad de parámetro. Vectores opuestos tienen misma rapidez y velocidades distintas.
4. Tangente y punto regular
Si r′(t₀) no es nulo da dirección tangente. Recta tangente pasa por r(t₀) con esa dirección. Dividir por norma da T, longitud 1. Flecha verde muestra T, no rapidez.
ℓ(s)=r(t₀)+s r′(t₀), s∈ℝ
T(t)=r′(t)/|r′(t)|, r′(t)≠0
Tramo regular tiene derivada continua nunca nula. Si se anula falla fórmula, sin excluir tangente geométrica. Para r(t)=(t²,t³), derivada nula en 0: tangente geométrica eje x, pero límites de T opuestos. Laboratorio oculta flecha unitaria en vez de inventarla.
5. Círculo y elipse con cálculos
Para verificar perpendicularidad, multiplicar componentes correspondientes y sumar: producto escalar. Para vectores no nulos, producto cero significa perpendiculares. Resultado es número, no nueva flecha.
u·v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z
En círculo de radio R, posición radial y velocidad tangente son perpendiculares. Rapidez vale R con este parámetro. Para R=2 y t=π/2, calcular así posición y velocidad.
r(t)=(R cos t,R sin t)
r′(t)=(−R sin t,R cos t)
|r′|=R√(sin²t+cos²t)=R
R=2, t=π/2 → r=(0,2), r′=(−2,0), T=(−1,0)
r·r′=−R²cos t sin t+R²sin t cos t=0
Tras una vuelta regresa al inicio: desplazamiento y velocidad vectorial media cero, pero rapidez instantánea R. En elipse r(t)=(2cos t,sin t), rapidez cambia: 1 en 0 y 2 en π/2. Incrementos iguales de parámetro no implican longitudes iguales.
r′(t)=(−2sin t,cos t)
|r′(t)|=√(4sin²t+cos²t)
6. Misma forma, otro movimiento
Usar t² como ángulo: r(t)=(R cos(t²),R sin(t²)), 0≤t≤√(2π). Sigue siendo una vuelta, lenta al inicio y más rápida después. Regla de cadena: derivar trigonométrica y multiplicar por 2t.
r′(t)=(−2tR sin(t²),2tR cos(t²))
|r′(t)|=2R|t|
t=0 → r′(0)=(0,0)
Invertir [a,b]: poner τ=a+b−t y usar r(τ). Derivada −r′(τ), porque dτ/dt=−1. Extremos intercambiados, sentido inverso y rapidez igual en puntos correspondientes. Cambiar duración animada solo modifica visualización, no fórmula.
7. Añadir tercera coordenada: hélice
Añadir z=bt convierte círculo xy en hélice. Tras 2π, mismos x e y pero altura cambia 2πb, paso vertical. b positivo sube, negativo baja; cero da círculo. Laboratorio muestra dos vueltas, 0≤t≤4π.
r(t)=(R cos t,R sin t,bt)
r′(t)=(−R sin t,R cos t,b)
|r′|=√(R²sin²t+R²cos²t+b²)=√(R²+b²)
R=1.5, b=0.25 → |r′|=√2.3125≈1.520691
2πb=π/2≈1.570796
Vista 3D proyectada en pantalla plana: puntos aparentemente cercanos pueden tener alturas distintas. Leer coordenadas y ejes. Proyección xy es círculo y no muestra ascenso.
8. Campo: flecha en cada lugar
Campo plano es F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). Entrada es lugar, no instante; salida flecha aplicada allí. P horizontal, Q vertical. Para viento son velocidades; para fuerza tienen unidades de fuerza. Significado físico debe declararse, no deducirse de letra F.
F(x,y)=(−y,x)
F(2,1)=(−1,2)
|F(2,1)|=√((−1)²+2²)=√5
F(0,0)=(0,0)
Vector nulo no tiene dirección definida y no puede normalizarse. Mapa muestrea rejilla. Escala común conserva comparación de módulos; flechas iguales mostrarían solo direcciones. Leer leyenda.
9. Reconocer cinco mapas elementales
F=(1,0): flechas iguales a derecha. F=(−y,x): tangentes a círculos centrados en origen, antihorarias. F=(x,y): radiales salientes, módulo crece con distancia. F=(−x,−y): entrantes. F=(x,−y): alejamiento en x y acercamiento en y, silla.
Dibujos parecidos no igualan fórmulas: (−y,x) y (−y,x)/(x²+y²) tienen mismo sentido fuera de origen pero módulos distintos; segundo no definido en origen. Dominio importará en potenciales e integrales de línea.
10. Curva no sigue automáticamente campo
Sobre curva F(r(t)) sustituye x,y por x(t),y(t). No es derivada r′(t). Seguir campo de velocidad exige r′(t)=F(r(t)). Línea de flujo sin rapidez fijada solo exige vectores no nulos paralelos concordantes: r′=c(t)F, c(t)>0.
r(t)=(R cos t,R sin t), F(x,y)=(−y,x)
F(r(t))=(−R sin t,R cos t)=r′(t)
Círculo sigue exactamente campo rotacional. Con F=(x,y), campo radial perpendicular a tangente: punto permanece en círculo porque curva está prescrita, no porque flechas lo empujen. Coincidir en un punto no demuestra coincidencia en todo recorrido.
11. Experimento guiado
Elegir Círculo y Rotación. Reproducir, pausar, avanzar: posición, derivada, tangente y campo sincronizados. Invertir: misma curva, tangente opuesta a campo. Cambiar a radial saliente: tangente transversal. Comparar Círculo y Círculo t²: misma forma, rapidez distinta.
Cúspide: cursor a mitad, t=0, derivada nula, T no disponible. Hélice: comparar espacio y xy, segundo pierde altura. Tablas: 81 muestras, dibujos: 401; explorar no demuestra regularidad ni identidad. No se ejecutan expresiones libres ni ecuaciones numéricas de movimiento.
12. Puente a trabajo e integrales de línea
Distinguimos ingredientes de etapa 25: camino r, sentido, tangente y campo sobre curva. Sumar componente a lo largo de movimiento llevará a trabajo e integrales de línea. No confundir flecha, producto local e integral de todo camino.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. Calcular r(1) para r(t)=(−2+t,−1+t/2).
Mostrar la solución razonada
Sustituir 1 en ambas componentes: r(1)=(−2+1,−1+1/2)=(−1,−1/2). Velocidad (1,1/2), distinta de posición.
2. Círculo R=2: posición, velocidad y T en π/2.
Mostrar la solución razonada
r=(2×0,2×1)=(0,2). r′=(−2×1,2×0)=(−2,0). |r′|=2, luego T=(−1,0), izquierda.
3. Elipse (2cos t,sin t): rapidez en 0 y π/2?
Mostrar la solución razonada
r′=(−2sin t,cos t). En 0: (0,1), norma 1; en π/2: (−2,0), norma 2. Parámetro uniforme no implica rapidez uniforme.
4. Círculo t² con R=1: rapidez en t=1?
Mostrar la solución razonada
Regla de cadena da r′=(−2t sin(t²),2t cos(t²)), norma 2|t|, luego 2. Omitir 2t da derivada incorrecta.
5. ¿Por qué falta T en 0 en cúspide?
Mostrar la solución razonada
r′=(2t,3t²), luego r′(0)=(0,0). Dividir por cero imposible. Tangente geométrica sigue siendo eje x; tangentes unitarias laterales opuestas.
6. Para F=(−y,x), hallar F(2,1) y módulo.
Mostrar la solución razonada
F(2,1)=(−1,2), módulo √(1+4)=√5. Aplicado en (2,1), no vector posición (2,1).
7. ¿Círculo sigue campo radial saliente?
Mostrar la solución razonada
No: r=(Rcos t,Rsin t), F(r)=r y r·r′=0. Radial perpendicular a tangente; movimiento impuesto por curva.
8. ¿Qué cambia al invertir círculo?
Mostrar la solución razonada
Traza igual. τ=2π−t da −r′(τ): cambia sentido, no rapidez correspondiente. Campo rotacional igual, movimiento opuesto.
9. Hélice R=1, b=1/2: paso y rapidez?
Mostrar la solución razonada
Paso 2πb=π. Rapidez √(R²+b²)=√(1+1/4)=√5/2. Proyección xy circular oculta paso.
10. ¿Campo (−y,x)/(x²+y²) está definido en origen?
Mostrar la solución razonada
No: denominador cero. Dominio ℝ² sin (0,0). Omitir punto en rejilla no elimina restricción de fórmula.
Antes: integrales dobles y triples · Índice del recorrido