Una strada è una forma geometrica; il viaggio aggiunge una posizione a ogni istante. Una mappa del vento aggiunge invece una freccia a ogni luogo. Il quarto blocco, Calcolo vettoriale, comincia distinguendo queste tre idee: curva, movimento e campo. Non servono subito nuovi integrali: prima impariamo a vedere che cosa indicano i vettori.
Curve e campi: laboratorio vettoriale · Indice del percorso
1. Da un numero a una posizione
Una funzione scalare restituisce un numero: la temperatura f(x,y). Una funzione vettoriale restituisce una coppia o una terna: r(t)=(x(t),y(t)) oppure r(t)=(x(t),y(t),z(t)). t è un parametro; se rappresenta il tempo, r(t) è la posizione del punto mobile. Le componenti si calcolano separatamente sostituendo lo stesso t.
r(t)=(−2+t, −1+t/2), 0≤t≤4
r(0)=(−2,−1)
r(1)=(−2+1,−1+1/2)=(−1,−1/2)
r(4)=(2,1)
Il vettore posizione parte dall’origine e termina nel punto. Non va confuso con un vettore velocità, che disegniamo applicato al punto stesso. Se le coordinate sono metri e t secondi, posizione e velocità hanno unità diverse.
2. Curva, parametro e verso
La traccia è l’insieme dei punti raggiunti; la parametrizzazione aggiunge l’ordine e la velocità con cui li raggiungiamo. Anche l’intervallo fa parte della descrizione. r(t)=(cos t,sin t), per 0≤t≤2π, percorre una volta il cerchio unitario in senso antiorario: a t=0 siamo a destra, a t=π/2 in alto. Gli angoli sono in radianti.
x=cos t, y=sin t → x²+y²=cos²t+sin²t=1
Eliminare t trova una relazione geometrica ma perde il verso e può perdere la parte effettivamente percorsa. Un cerchio non è globalmente y=f(x): allo stesso x possono corrispondere due y. Una curva è chiusa se gli estremi coincidono; questo non garantisce che non abbia auto-intersezioni o che sia percorsa una volta sola.
3. La derivata è una velocità vettoriale
Tra t e t+Δt lo spostamento è r(t+Δt)−r(t). Dividere per Δt dà la velocità media, cioè uno spostamento per unità di tempo. Facendo tendere Δt a zero otteniamo la velocità istantanea. Si deriva ogni componente, non il disegno intero come se fosse y=f(x).
v(t)=r′(t)=(x′(t),y′(t),z′(t))
r(t)=(−2+t,−1+t/2) → v(t)=(1,1/2)
|v(t)|=√(1²+(1/2)²)=√5/2≈1.118034
La rapidità |v| è un numero non negativo; la velocità v contiene anche direzione e verso. Se t non è tempo fisico, r′ è semplicemente il tasso di variazione rispetto al parametro. Due vettori opposti hanno la stessa rapidità ma velocità diverse.
4. Tangente e punto regolare
Se r′(t₀) non è nullo, indica la direzione tangente alla curva. La retta tangente passa per r(t₀) e ha quella direzione. Per mostrare solo direzione e verso dividiamo per la norma: otteniamo T, vettore unitario di lunghezza 1. La freccia verde del laboratorio rappresenta T, non la rapidità.
ℓ(s)=r(t₀)+s r′(t₀), s∈ℝ
T(t)=r′(t)/|r′(t)|, r′(t)≠0
Un tratto è regolare quando è derivabile con derivata continua e mai nulla. Se la derivata è zero, questa formula non si può usare; non concludere automaticamente che non esista una tangente geometrica. Per r(t)=(t²,t³), in t=0 la derivata è nulla: la tangente geometrica è l’asse x, ma i due versi limite di T sono opposti. Nel laboratorio la freccia unitaria viene nascosta, non inventata.
5. Cerchio ed ellisse, con i conti
Per controllare la perpendicolarità usiamo il prodotto scalare: moltiplichiamo le componenti corrispondenti e sommiamo. Per due vettori non nulli, prodotto zero significa perpendicolari. È un numero, non una nuova freccia.
u·v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z
Nel cerchio di raggio R, il vettore posizione è radiale mentre la velocità è tangente: sono perpendicolari. La norma della velocità vale R per questa scelta del parametro. Con R=2 e t=π/2, posizione e velocità si calcolano così.
r(t)=(R cos t,R sin t)
r′(t)=(−R sin t,R cos t)
|r′|=R√(sin²t+cos²t)=R
R=2, t=π/2 → r=(0,2), r′=(−2,0), T=(−1,0)
r·r′=−R²cos t sin t+R²sin t cos t=0
Dopo un giro il punto torna all’inizio: spostamento e velocità media vettoriale sono zero, ma la rapidità istantanea resta R. Nell’ellisse r(t)=(2cos t,sin t), invece, la rapidità cambia: vale 1 a t=0 e 2 a t=π/2. Far crescere t allo stesso ritmo non significa percorrere uguali lunghezze.
r′(t)=(−2sin t,cos t)
|r′(t)|=√(4sin²t+cos²t)
6. Stessa forma, altro movimento
Usiamo t² come angolo: r(t)=(R cos(t²),R sin(t²)), per 0≤t≤√(2π). La traccia è ancora un giro del cerchio, ma l’angolo cresce lentamente all’inizio e più in fretta dopo. Per derivare serve la regola della catena: prima la funzione trigonometrica, poi moltiplicare per 2t.
r′(t)=(−2tR sin(t²),2tR cos(t²))
|r′(t)|=2R|t|
t=0 → r′(0)=(0,0)
Per invertire un percorso definito su [a,b] poniamo τ=a+b−t e usiamo r(τ). La derivata è −r′(τ), perché dτ/dt=−1. Si scambiano inizio e fine, il verso si inverte e la rapidità nel punto corrispondente rimane uguale. Spostare solo la velocità dell’animazione è invece una scelta di visualizzazione: non cambia la formula studiata.
7. Aggiungere la terza coordinata: l’elica
Un cerchio nel piano xy diventa un’elica se aggiungiamo z=bt. Quando t cresce di 2π, torniamo allo stesso x e y ma la quota cambia di 2πb, il passo verticale. b positivo significa salita, negativo discesa; b=0 restituisce un cerchio. Nel laboratorio osserviamo due giri, 0≤t≤4π.
r(t)=(R cos t,R sin t,bt)
r′(t)=(−R sin t,R cos t,b)
|r′|=√(R²sin²t+R²cos²t+b²)=√(R²+b²)
R=1.5, b=0.25 → |r′|=√2.3125≈1.520691
2πb=π/2≈1.570796
La figura 3D è proiettata su uno schermo piano: due punti apparentemente vicini possono avere quote diverse. Leggi le coordinate e gli assi, non soltanto l’immagine. La proiezione dell’elica su xy è un cerchio: da sola non racconta la salita.
8. Il campo: una freccia per ogni luogo
Un campo vettoriale nel piano è F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). Non prende un istante ma un luogo, e restituisce una freccia applicata lì. P è la componente orizzontale, Q quella verticale. Se descrive vento, sono componenti di velocità; se descrive una forza, hanno unità di forza. Il significato fisico va dichiarato, non dedotto dalla lettera F.
F(x,y)=(−y,x)
F(2,1)=(−1,2)
|F(2,1)|=√((−1)²+2²)=√5
F(0,0)=(0,0)
Una freccia nulla ha modulo zero e nessuna direzione definita: non si può normalizzare. La mappa mostra soltanto alcuni punti di una griglia. Frecce riscalate tutte allo stesso modo conservano i confronti dei moduli; frecce tutte di lunghezza uguale mostrerebbero solo direzioni. Controllare la legenda evita interpretazioni sbagliate.
9. Riconoscere cinque mappe elementari
F=(1,0): tutte le frecce puntano a destra con lo stesso modulo. F=(−y,x): sono tangenti ai cerchi centrati nell’origine, in senso antiorario. F=(x,y): escono radialmente dall’origine e crescono con la distanza. F=(−x,−y): entrano verso l’origine. F=(x,−y): allontanamento lungo x e avvicinamento lungo y, una struttura a sella.
Un disegno simile non rende uguali due formule. Per esempio (−y,x) e (−y,x)/(x²+y²) hanno lo stesso verso fuori dall’origine ma moduli diversi; il secondo non è definito nell’origine. Il dominio del campo conta quanto il suo aspetto: tornerà importante con potenziali e integrali di linea.
10. Una curva non segue automaticamente un campo
Sulla curva possiamo leggere F(r(t)): sostituiamo x(t),y(t) nel campo. È una freccia del campo nel punto raggiunto, non la derivata r′(t). Se F è un campo di velocità, un moto che lo segue soddisfa r′(t)=F(r(t)). Per una linea di flusso senza imporre la velocità basta che i vettori siano paralleli e concordi nei punti non nulli, cioè r′=c(t)F con c(t)>0.
r(t)=(R cos t,R sin t), F(x,y)=(−y,x)
F(r(t))=(−R sin t,R cos t)=r′(t)
Qui il cerchio segue proprio il campo rotazionale. Con F=(x,y), invece, il campo è radiale e la tangente al cerchio è perpendicolare: il punto animato rimane sul cerchio perché abbiamo prescritto la curva, non perché viene spinto dalle frecce. Un accordo in un solo punto non dimostra l’accordo sull’intero percorso.
11. Un esperimento guidato nel laboratorio
Scegli Cerchio e Rotazione. Avvia, ferma e usa Avanti: posizione, derivata, tangente e campo si aggiornano insieme. Inverti il verso: la curva resta uguale ma la tangente orientata diventa opposta al campo. Passa al radiale uscente: la tangente è trasversale alle frecce. Confronta poi Cerchio e Cerchio con t²: stessa forma, rapidità diversa.
Nella cuspide porta il cursore a metà: t=0, derivata nulla, nessuna T calcolabile. Nell’elica confronta la vista spaziale e quella xy: la seconda perde la quota. Le tabelle hanno 81 campioni, i disegni 401; servono a esplorare, non a dimostrare regolarità o identità. Non vengono eseguite espressioni libere né risolte numericamente equazioni del moto.
12. Il ponte verso lavoro e integrali di linea
Abbiamo separato ciò che serve alla prossima tappa: il percorso r, il suo verso, la direzione tangente e il campo letto lungo la curva. Nella tappa 25 sommare il contributo della componente del campo lungo il movimento porterà al lavoro e agli integrali di linea. Per ora non confondiamo una freccia, un prodotto locale e un integrale su tutto il cammino.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Calcola r(1) per r(t)=(−2+t,−1+t/2).
Mostra la soluzione ragionata
Sostituiamo 1 in entrambe le componenti: r(1)=(−2+1,−1+1/2)=(−1,−1/2). La velocità è (1,1/2), non la posizione trovata.
2. Cerchio R=2: trova posizione, velocità e T per t=π/2.
Mostra la soluzione ragionata
r=(2×0,2×1)=(0,2). r′=(−2×1,2×0)=(−2,0). |r′|=2, quindi T=(−1,0). La tangente punta a sinistra.
3. Ellisse (2cos t,sin t): rapidità in 0 e π/2?
Mostra la soluzione ragionata
r′=(−2sin t,cos t). In 0 vale (0,1), norma 1; in π/2 vale (−2,0), norma 2. Il parametro uniforme non dà rapidità uniforme.
4. Nel cerchio con t² e R=1, quanto vale la rapidità a t=1?
Mostra la soluzione ragionata
La catena dà r′=(−2t sin(t²),2t cos(t²)); norma 2|t|, quindi 2. Senza il fattore 2t si deriverebbe in modo sbagliato.
5. Perché nella cuspide non compare T in t=0?
Mostra la soluzione ragionata
r′=(2t,3t²), quindi r′(0)=(0,0). Dividere per |r′|=0 è impossibile. La retta tangente geometrica è comunque l’asse x; le tangenti unitarie dai due lati hanno versi opposti.
6. Per F=(−y,x), calcola F(2,1) e il modulo.
Mostra la soluzione ragionata
F(2,1)=(−1,2), modulo √(1+4)=√5. È una freccia applicata a (2,1); non è il vettore posizione (2,1).
7. Il cerchio segue il campo radiale uscente?
Mostra la soluzione ragionata
No: r=(Rcos t,Rsin t), F(r)=r e r·r′=0. La freccia radiale è perpendicolare alla tangente: il moto mostrato resta imposto dalla curva.
8. Che cosa cambia invertendo il verso del cerchio?
Mostra la soluzione ragionata
La traccia non cambia. Con τ=2π−t, derivata −r′(τ): cambia il verso, non la rapidità nel punto corrispondente. Il campo rotazionale resta invariato, quindi il moto ora gli è opposto.
9. Elica R=1, b=1/2: passo e rapidità?
Mostra la soluzione ragionata
Passo 2πb=π. Rapidità √(R²+b²)=√(1+1/4)=√5/2. La proiezione xy è un cerchio e non mostra il passo.
10. Il campo (−y,x)/(x²+y²) è definito nell’origine?
Mostra la soluzione ragionata
No: il denominatore è zero. Il dominio è ℝ² senza (0,0). Una griglia che non disegna quel punto non elimina la restrizione; il dominio va letto dalla formula.
Prima: integrali doppi e tripli · Indice del percorso