Une route est une forme ; un voyage associe une position à chaque instant. Une carte du vent associe une flèche à chaque lieu. Le quatrième bloc, Calcul vectoriel, commence par distinguer courbe, mouvement et champ. Avant de nouvelles intégrales, apprendre à lire les vecteurs.
Courbes et champs : laboratoire vectoriel · Index du parcours
1. D’un nombre à une position
Une fonction scalaire renvoie un nombre, par exemple une température f(x,y). Une fonction vectorielle renvoie une paire ou un triplet : r(t)=(x(t),y(t)) ou r(t)=(x(t),y(t),z(t)). t est un paramètre ; s’il représente le temps, r(t) est la position. Évaluer séparément les composantes au même t.
r(t)=(−2+t, −1+t/2), 0≤t≤4
r(0)=(−2,−1)
r(1)=(−2+1,−1+1/2)=(−1,−1/2)
r(4)=(2,1)
Le vecteur position part de l’origine et arrive au point. Le vecteur vitesse est dessiné au point : ne pas les confondre. Coordonnées en mètres et t en secondes donnent des unités différentes.
2. Courbe, paramètre et sens
La trace est l’ensemble des points atteints ; le paramétrage ajoute ordre et vitesse de parcours. L’intervalle compte aussi. r(t)=(cos t,sin t), 0≤t≤2π, parcourt une fois le cercle unité dans le sens direct : à droite pour 0, en haut pour π/2. Angles en radians.
x=cos t, y=sin t → x²+y²=cos²t+sin²t=1
Éliminer t donne une relation mais perd le sens et parfois la portion parcourue. Un cercle n’est pas globalement y=f(x) : un x peut avoir deux y. Extrémités égales signifie courbe fermée, pas forcément sans auto-intersection ni parcourue une seule fois.
3. La dérivée est une vitesse vectorielle
Entre t et t+Δt, déplacement r(t+Δt)−r(t). Diviser par Δt donne la vitesse moyenne, déplacement par unité de temps. Faire tendre Δt vers zéro donne la vitesse instantanée. Dériver chaque composante, pas le dessin comme y=f(x).
v(t)=r′(t)=(x′(t),y′(t),z′(t))
r(t)=(−2+t,−1+t/2) → v(t)=(1,1/2)
|v(t)|=√(1²+(1/2)²)=√5/2≈1.118034
La vitesse scalaire |v| est positive ou nulle ; v contient aussi direction et sens. Si t n’est pas le temps physique, r′ est une variation par unité de paramètre. Des vecteurs opposés ont même norme mais vitesses vectorielles différentes.
4. Tangente et point régulier
Si r′(t₀) est non nul, il donne la direction tangente. La droite tangente passe par r(t₀) dans cette direction. Diviser par la norme donne T, de longueur 1. La flèche verte du laboratoire représente T, pas la vitesse scalaire.
ℓ(s)=r(t₀)+s r′(t₀), s∈ℝ
T(t)=r′(t)/|r′(t)|, r′(t)≠0
Un morceau régulier a une dérivée continue jamais nulle. Si elle s’annule, la formule échoue, sans exclure une tangente géométrique. Pour r(t)=(t²,t³), dérivée nulle en 0 : tangente géométrique axe x, mais limites de T opposées. Le laboratoire masque la flèche unitaire au lieu de l’inventer.
5. Cercle et ellipse avec calculs
Pour vérifier la perpendicularité, multiplier les composantes correspondantes et sommer : c’est le produit scalaire. Pour deux vecteurs non nuls, un produit nul signifie perpendiculaires. Résultat numérique, pas une nouvelle flèche.
u·v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z
Sur le cercle de rayon R, position radiale et vitesse tangente sont perpendiculaires. La norme vaut R pour ce paramétrage. Avec R=2 et t=π/2, calculer ainsi position et vitesse.
r(t)=(R cos t,R sin t)
r′(t)=(−R sin t,R cos t)
|r′|=R√(sin²t+cos²t)=R
R=2, t=π/2 → r=(0,2), r′=(−2,0), T=(−1,0)
r·r′=−R²cos t sin t+R²sin t cos t=0
Après un tour, retour au départ : déplacement et vitesse vectorielle moyenne nuls, mais norme instantanée R. Sur l’ellipse r(t)=(2cos t,sin t), la norme varie : 1 en 0 et 2 en π/2. Des pas égaux du paramètre ne donnent pas forcément des distances égales.
r′(t)=(−2sin t,cos t)
|r′(t)|=√(4sin²t+cos²t)
6. Même forme, autre mouvement
Prendre t² comme angle : r(t)=(R cos(t²),R sin(t²)), 0≤t≤√(2π). Toujours un tour, mais angle lent au début puis rapide. Règle de chaîne : dériver la fonction trigonométrique puis multiplier par 2t.
r′(t)=(−2tR sin(t²),2tR cos(t²))
|r′(t)|=2R|t|
t=0 → r′(0)=(0,0)
Inverser [a,b] : poser τ=a+b−t et utiliser r(τ). Dérivée −r′(τ), car dτ/dt=−1. Extrémités échangées, sens inversé et même norme aux points correspondants. Changer seulement la durée d’animation modifie l’affichage, pas la formule.
7. Ajouter la troisième coordonnée : l’hélice
Ajouter z=bt transforme un cercle xy en hélice. Après 2π, mêmes x et y mais hauteur changée de 2πb, le pas vertical. b positif : montée ; négatif : descente ; nul : cercle. Le laboratoire montre deux tours, 0≤t≤4π.
r(t)=(R cos t,R sin t,bt)
r′(t)=(−R sin t,R cos t,b)
|r′|=√(R²sin²t+R²cos²t+b²)=√(R²+b²)
R=1.5, b=0.25 → |r′|=√2.3125≈1.520691
2πb=π/2≈1.570796
La vue 3D est projetée sur un écran plan : points apparemment proches, hauteurs parfois différentes. Lire coordonnées et axes. La projection xy de l’hélice est un cercle et ne raconte pas sa montée.
8. Le champ : une flèche par lieu
Un champ plan est F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). Il reçoit un lieu, pas un instant, et renvoie une flèche appliquée là. P est horizontale, Q verticale. Pour le vent : composantes de vitesse ; pour une force : unités de force. La lettre F ne suffit pas à fixer le sens physique.
F(x,y)=(−y,x)
F(2,1)=(−1,2)
|F(2,1)|=√((−1)²+2²)=√5
F(0,0)=(0,0)
Un vecteur nul n’a pas de direction définie et ne peut être normalisé. La carte échantillonne une grille. Une échelle commune préserve les comparaisons de normes ; des flèches égales ne montreraient que les directions. Lire la légende.
9. Reconnaître cinq cartes élémentaires
F=(1,0) : flèches égales vers la droite. F=(−y,x) : tangentes aux cercles centrés à l’origine, sens direct. F=(x,y) : radiales sortantes, norme croissante avec distance. F=(−x,−y) : entrantes. F=(x,−y) : éloignement selon x, rapprochement selon y, structure de selle.
Dessins semblables, formules pas forcément égales : (−y,x) et (−y,x)/(x²+y²) ont même sens hors origine, normes différentes ; le second est indéfini à l’origine. Le domaine comptera pour potentiels et intégrales curvilignes.
10. Une courbe ne suit pas automatiquement un champ
Sur une courbe, F(r(t)) remplace x,y par x(t),y(t). Ce vecteur n’est pas r′(t). Suivre un champ de vitesse impose r′(t)=F(r(t)). Une ligne de courant sans vitesse imposée exige seulement des vecteurs non nuls parallèles et concordants : r′=c(t)F, c(t)>0.
r(t)=(R cos t,R sin t), F(x,y)=(−y,x)
F(r(t))=(−R sin t,R cos t)=r′(t)
Le cercle suit exactement le champ tournant. Avec F=(x,y), champ radial perpendiculaire à la tangente : le point reste sur le cercle parce que la courbe est prescrite, pas parce que les flèches le poussent. Un accord local ne prouve pas l’accord sur tout le parcours.
11. Une expérience guidée
Choisir Cercle et Rotation. Lancer, arrêter, avancer : position, dérivée, tangente et champ synchronisés. Inverser : même courbe, tangente opposée au champ. Passer au radial sortant : tangente transversale. Comparer Cercle et Cercle t² : même forme, vitesse différente.
Cuspide : curseur à moitié, t=0, dérivée nulle, T indisponible. Hélice : comparer espace et xy, cette dernière perd la hauteur. Tables : 81 échantillons, dessins : 401 ; explorer n’est pas démontrer régularité ou identité. Aucune expression libre ni équation du mouvement résolue numériquement.
12. Vers le travail et les intégrales curvilignes
Nous avons distingué les ingrédients de l’étape 25 : chemin r, sens, tangente et champ lu sur la courbe. Sommer la composante dans le mouvement conduira au travail et aux intégrales curvilignes. Ne pas confondre flèche, produit local et intégrale sur tout le chemin.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Calculer r(1) pour r(t)=(−2+t,−1+t/2).
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Remplacer 1 dans les deux composantes : r(1)=(−2+1,−1+1/2)=(−1,−1/2). Vitesse (1,1/2), différente de la position.
2. Cercle R=2 : position, vitesse et T en π/2.
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r=(2×0,2×1)=(0,2). r′=(−2×1,2×0)=(−2,0). |r′|=2, donc T=(−1,0), vers la gauche.
3. Ellipse (2cos t,sin t) : norme en 0 et π/2 ?
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r′=(−2sin t,cos t). En 0 : (0,1), norme 1 ; en π/2 : (−2,0), norme 2. Paramètre uniforme, pas vitesse uniforme.
4. Cercle t² et R=1 : norme en t=1 ?
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La chaîne donne r′=(−2t sin(t²),2t cos(t²)), norme 2|t|, donc 2. Omettre 2t rend la dérivée fausse.
5. Pourquoi T manque-t-elle en 0 pour la cuspide ?
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r′=(2t,3t²), donc r′(0)=(0,0). Division par zéro impossible. Tangente géométrique axe x ; tangentes unitaires des deux côtés opposées.
6. Pour F=(−y,x), calculer F(2,1) et sa norme.
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F(2,1)=(−1,2), norme √(1+4)=√5. Vecteur appliqué en (2,1), pas vecteur position (2,1).
7. Un cercle suit-il le champ radial sortant ?
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Non : r=(Rcos t,Rsin t), F(r)=r et r·r′=0. Radiale perpendiculaire à la tangente ; mouvement imposé par la courbe.
8. Que change le sens inverse du cercle ?
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Trace inchangée. τ=2π−t donne −r′(τ) : sens changé, même norme au point correspondant. Champ tournant inchangé, mouvement opposé.
9. Hélice R=1, b=1/2 : pas et norme ?
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Pas 2πb=π. Norme √(R²+b²)=√(1+1/4)=√5/2. Projection xy circulaire, qui cache le pas.
10. Le champ (−y,x)/(x²+y²) est-il défini à l’origine ?
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Non : dénominateur nul. Domaine ℝ² privé de (0,0). Omettre ce point sur une grille ne supprime pas la restriction de la formule.
Avant : intégrales doubles et triples · Index du parcours