Teorema de Green: de circulación en borde a integral interior

Tras trabajo a lo largo de camino, cerramos recorrido: ¿puede obtenerse circulación mirando interior? Green conecta dos cálculos con hipótesis correctas de borde y dominio. Empezamos por rectángulo antes de círculos, coronas y flujo.

Green: del borde a la región · Índice del recorrido

1. Dos formas de mirar misma cantidad

Circulación es ∮C Pdx+Qdy para F=(P,Q) en curva cerrada. Círculo del símbolo indica regreso al inicio. No es longitud ni módulo: importan componentes según recorrido y signos.

Teorema conecta suma con integral doble de Q_x−P_y, no P+Q. Subíndices son parciales. Densidad local de circulación, no automáticamente velocidad angular de un objeto.

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2. Hipótesis antes de fórmula

D es región plana acotada con borde simple, cerrado y regular a trozos. P,Q tienen primeras derivadas continuas en entorno abierto de región y borde. Esquinas admitidas; punto interior sin campo viola hipótesis. Después trataremos varios componentes de borde.

Sentido positivo deja región a izquierda, antihorario sin agujeros. Invertir cambia signo de integral de borde, no integral doble sobre D. Comparación requiere signo menos explícito.

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3. Escribir y leer Green

B=∮[∂D,+] P dx+Q dy
I=∬D (Q_x−P_y)dA
B=I
B_(−∂D)=−I

∂D es borde; + fija sentido positivo. dA es área positiva, no sentido antihorario. Para F=(−y,x), P_y=−1 y Q_x=1, luego Q_x−P_y=1−(−1)=2. Atención a dos signos menos.

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4. Rectángulo, cuatro lados, dos cálculos

Elegir D=[0,a]×[0,b], a,b>0, F=(−y,x). Abajo a derecha, derecha arriba, arriba a izquierda, izquierda abajo. Lados horizontales: dy=0; verticales: dx=0.

B₁=∫₀ᵃ0 dx=0
B₂=∫₀ᵇa dy=ab
B₃=∫ₐ⁰(−b)dx=(−b)(−a)=ab
B₄=∫[b,0]0 dy=0
B=0+ab+ab+0=2ab
I=∫₀ᵃ∫₀ᵇ2 dy dx=2ab
a=2, b=1 → B=I=4

Arriba P y dx negativos dan contribución positiva. No integrar todos los lados hacia adelante sin cambiar dirección tangente.

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5. Por qué aparecen esas derivadas

Para campo general sumar cuatro lados. Agrupar horizontales y verticales; transformar diferencias en integrales de derivadas por teorema fundamental. Bajo hipótesis de regularidad declaradas.

B=∫₀ᵃ[P(x,0)−P(x,b)]dx+∫₀ᵇ[Q(a,y)−Q(0,y)]dy
P(x,0)−P(x,b)=−∫₀ᵇP_y(x,y)dy
Q(a,y)−Q(0,y)=∫₀ᵃQ_x(x,y)dx
B=−∫₀ᵃ∫₀ᵇP_y dy dx+∫₀ᵇ∫₀ᵃQ_x dx dy
=∬D (Q_x−P_y)dA

Celdas adyacentes recorren lado compartido en sentidos opuestos: cancelación, queda borde de unión. Intuición para regiones generales, no prueba técnica del límite en bordes curvos.

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6. Densidad interior variable

Para F=(−y³,x³), P_y=−3y², Q_x=3x². Densidad 3x²+3y², no constante arbitraria. Integrar en y y después x.

I=∫₀ᵃ∫₀ᵇ(3x²+3y²)dy dx
=∫₀ᵃ[3x²y+y³]₀ᵇdx
=∫₀ᵃ(3bx²+b³)dx
=[bx³+b³x]₀ᵃ=ba³+ab³=ab(a²+b²)
B₂=a³b; B₃=ab³; B₁=B₄=0
a=2,b=1 → B=I=2(4+1)=10

Cuadraturas independientes. Borde puede ser exacto mientras suma interior conserva error. Diferencia decreciente con n no refuta identidad analítica.

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7. Región no necesita ser rectangular

Triángulo (0,0),(a,0),(0,b) en orden positivo, área ab/2. Para F=(−y,x), densidad 2 da I=ab. Lado oblicuo de (a,0) a (0,b) aporta todo; lados en ejes cero.

r(t)=(a(1−t),bt), 0≤t≤1
r′=(−a,b), F(r)=(−bt,a(1−t))
F(r)·r′=abt+ab(1−t)=ab
B=∫₀¹ab dt=ab
I=∫[0,a]∫[0,b(1−x/a)]2dy dx=ab

Límite superior de y depende de x: hipotenusa. Laboratorio usa x=au, y=b(1−u)v, del cuadrado paramétrico al triángulo. Peso de área J=ab(1−u), no ab constante.

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8. Calcular área desde borde

Elegir P=−y/2, Q=x/2: Q_x−P_y=1. Green transforma área en integral de borde. Elipse x=a cos t, y=b sin t, 0≤t≤2π simplifica sin raíces.

Area(D)=1/2 ∮[∂D,+](x dy−y dx)
−y x′/2+x y′/2=(ab/2)(sin²t+cos²t)=ab/2
Area(ellipse)=∫₀²πab/2 dt=πab

Polígono simple: integrar segmentos da ½Σ(x_i y_(i+1)−x_(i+1)y_i), cerrando último con primero. (0,0),(3,0),(0,2) da (0+6+0)/2=3. Inversión da −3, área con signo; geométrica sigue 3. Contornos autointersectados requieren adaptación.

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9. Regiones con agujeros: cuentan todos los bordes

Se extiende a número finito de agujeros con bordes regulares a trozos, campo C¹ cerca de toda región cerrada, agujeros excluidos. D a izquierda: exterior antihorario, agujeros horarios. Borde exterior solo no basta.

D={r≤√(x²+y²)≤R}, 0<r<R
∮outer,+F·dr + ∮inner,−F·dr = ∬D(Q_x−P_y)dA
F=(−y,x): B_outer=2πR²; B_inner=−2πr²
B=2π(R²−r²)=2 Area(D)
R=2,r=1 → 8π−2π=6π

Aquí + y − indican círculos antihorario y horario. Corte entre contornos se cancela en sus dos caras. Conexión simple no es necesaria en versión extendida con borde completo e hipótesis correctas.

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10. Por qué campo angular no refuta Green

F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)) tiene Q_x−P_y=0 fuera de origen, pero circulación 2π en círculo centrado antihorario. Green no se aplica al disco lleno: campo no definido en centro. Evitar punto en rejilla no repara hipótesis.

D={ρ≤R}: (0,0)∈D; ∄F(0,0)
D={r≤ρ≤R}, r>0 → B_outer=2π, B_inner=−2π
B_total=0=∬D0 dA

En corona origen queda fuera, campo regular cerca: Green funciona con ambos bordes. Omitir interior deja 2π, cambiando contorno, no refutando teorema.

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11. Segunda forma: flujo saliente

Con sentido positivo normal saliente a derecha: n ds=(dy,−dx). Flujo ∮Pdy−Qdx. Green aplicado a campo auxiliar (−Q,P) da densidad P_x+Q_y.

∮[∂D,+] F·n ds=∮[∂D,+] Pdy−Qdx
=∬D(P_x+Q_y)dA
F=(x,y): P_x+Q_y=1+1=2
D={x²+y²≤R²} → Flux_out=2πR²

En laboratorio inversión mantiene normal a derecha: pasa a entrante y cambia signo. Flujo físico con normal saliente fija no cambia solo al reparametrizar; conservar también elección de normal. Superficies y volúmenes después.

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12. Leer dos sumas del laboratorio

Izquierda: contribuciones en puntos medios de bordes. Derecha: n² celdas paramétricas transformadas con Jacobiano. Programa no deduce un lado de otro por Green: cálculos independientes.

ΔB_i=[P(r(t_i*))x′(t_i*)+Q(r(t_i*))y′(t_i*)]Δt_i
ΔI_ij=(Q_x−P_y)(x_ij,y_ij) J(u_i*,v_j*) Δu Δv
D={ρ≤R}: ρ=Ru, θ=2πv → J=2πR²u
D={r≤ρ≤R}: ρ=r+(R−r)u → J=2πρ(R−r)

Un término de borde por paso, franjas interiores proporcionales. Sumas parciales no necesariamente iguales: fragmentos no forman mismo borde cerrado. Al final comparar B y sI, s=1 o −1 según sentido. Casos no aplicables desactivan comparación.

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13. Verificación antes de calcular

¿Contorno simple cerrado o componentes correctos alrededor de agujeros? ¿Región a izquierda? ¿Campo C¹ dentro y cerca de borde? ¿Q_x−P_y, no P_x−Q_y? ¿Peso de área en polares? Solo entonces elegir integral más fácil.

Diez experiencias distinguen identidad, hipótesis ausente y error numérico. Flechas y sumas muestreadas no prueban caso general. Etapa 27: superficies paramétricas, área, normales e integrales de superficie.

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Ejercicios: intenta antes de revelar

1. ¿Densidad interior para F=(−y,x) y F=(2x,2y)?

2. Rectángulo 2×1, F=(−y,x): sumar lados.

3. Invertir borde: ¿B e I se vuelven ambos negativos?

4. F=(−y³,x³), rectángulo 2×1: ¿valor exacto?

5. Triángulo (0,0),(3,0),(0,2), F=(−y,x): ¿circulación?

6. Elipse semiejes 3,2 y F=(−y/2,x/2): ¿qué mide B?

7. Fórmula de vértices da −3: ¿área geométrica negativa?

8. Corona R=2,r=1, F=(−y,x): ¿dos bordes?

9. Campo angular en corona: ¿por qué 2π no contradice densidad cero?

10. Campo angular en disco: ¿Green si rejilla evita origen?

11. F=(x,y), disco R=2: ¿flujo saliente e inversión?

12. Rectángulo polinómico: B=10, I≈9,84375 con n=4. ¿Contradicción?

Antes: integrales de línea, trabajo y potencial · Índice del recorrido

Para profundizar

• OpenStax · Line integrals
• OpenStax · Conservative vector fields