Une intégrale définie se calcule sur un intervalle fini sous les hypothèses nécessaires. Que change une borne infinie ou une fonction non bornée ? Remplacer une variable par le symbole ∞ dans une primitive ne suffit pas : il faut une limite. Plusieurs points problématiques doivent être étudiés séparément.
Intégrales impropres : laboratoire des limites · Index du parcours
1. Tronquer d’abord, puis passer à la limite
Supposons f intégrable sur chaque intervalle fini [a,R]. On définit :
∫a∞f(x)dx = lim(R→∞) ∫aRf(x)dx.
L’intégrale impropre converge si cette limite existe et est finie. Une croissance infinie ou l’absence de limite signifie non-convergence. L’infini n’est pas un nombre à substituer dans les opérations ordinaires. La troncature I(R) est une intégrale ordinaire ; sa limite est une autre question.
De même ∫−∞bf=lim(A→−∞)∫Abf. Dans cette dernière formule la borne inférieure est A, le paramètre qui tend vers −∞.
2. À l’infini : le seuil p>1
Pour p≠1 : ∫1Rx⁻ᵖdx=(R¹⁻ᵖ−1)/(1−p). Si p>1, R¹⁻ᵖ→0 ; si p<1 il croît sans limite. Pour p=1 l’intégrale vaut ln R et diverge.
∫1∞dx/xᵖ converge ⇔ p>1 ; sa valeur est 1/(p−1).
Pour 1/x² : I(R)=1−1/R→1. Pour 1/x : I(R)=ln R→∞. Dans les deux cas f(x)→0, donc cela ne suffit pas à avoir une aire finie. Pour p=1,01 la convergence existe mais peut être extrêmement lente.
3. Près de zéro le seuil s’inverse
Pour une fonction non bornée près de 0, on définit ∫01f=lim(ε→0⁺)∫ε1f. Pour p≠1 : ∫ε1x⁻ᵖdx=(1−ε¹⁻ᵖ)/(1−p). Maintenant ε est petit, pas grand :
∫01dx/xᵖ converge ⇔ p<1 ; sa valeur est 1/(1−p).
Pour 1/√x la valeur est 2 malgré la croissance infinie près de zéro. Pour 1/x la troncature est −ln ε et diverge. Les seuils à l’infini et près de zéro sont opposés : identifier le point problématique est essentiel. Une fonction non bornée peut donc avoir une intégrale finie.
4. Trois exemples avec primitives et limites
Queue exponentielle : pour λ>0, ∫0Re^(−λx)dx=(1−e^(−λR))/λ→1/λ. La partie omise vaut e^(−λR)/λ.
Logarithme près de zéro : ∫ε1−ln(x)dx=1−ε+ε ln ε→1 car ε ln ε→0. La fonction est non bornée mais l’intégrale converge.
Singularité à droite : ∫01−εdx/√(1−x)=2−2√ε→2. Ce qui tend vers zéro est la distance ε à la borne 1, pas nécessairement x.
5. Singularités intérieures et plusieurs bornes problématiques
Si c est intérieur à [a,b] et f y pose problème, définir séparément ∫acf et ∫cbf par limites unilatérales. L’intégrale entière converge seulement si les deux sont finies. Les coupures doivent être indépendantes : on ne peut pas attribuer un nombre à −∞+∞.
Pour 1/√|x| sur [−1,1], les deux intégrales valent 2 et le total 4. Pour 1/x² chaque côté diverge vers +∞ : la symétrie ne suffit pas.
Pour f(x)=1/√[x(1−x)] sur (0,1), séparer en 1/2. Une primitive est 2 arcsin√x : chaque moitié vaut π/2 et le total π. Ce sont deux singularités intégrables, pas une unique limite synchronisée.
6. Sur toute la droite : deux queues indépendantes
∫−∞∞f = ∫−∞cf + ∫c∞f, si les deux intégrales convergent.
Pour 1/(1+x²), la primitive est arctan x. Chaque queue depuis 0 vaut π/2, donc l’intégrale vaut π. Sur [−L,R], la valeur est arctan L+arctan R et tend vers π même si L et R croissent à des vitesses différentes.
Pour x/(1+x²), une primitive est (1/2)ln(1+x²). La queue gauche diverge vers −∞ et la droite vers +∞ : l’intégrale impropre ordinaire ne converge pas. Sur [−R,R] on obtient toujours 0, mais c’est un autre type de limite.
7. Valeur principale : une autre notion
Pour 1/x sur [−1,1], l’intégrale gauche tend vers −∞ et la droite vers +∞. L’intégrale ordinaire ne converge pas. Des coupures ε identiques donnent pourtant :
PV ∫−11 dx/x = lim(ε→0⁺)[∫−1−εdx/x + ∫ε1dx/x] = 0.
Cela définit la valeur principale de Cauchy en ce point, pas une règle d’addition des infinis. Avec coupure gauche αε et droite ε, la somme tronquée vaut ln α : α=2 donne ln 2, α=1 donne 0. Le résultat dépend du chemin d’approche.
Pour x/(1+x²) sur toute la droite, la valeur principale symétrique est aussi 0, alors que [−αR,R] tend vers −ln α. Une valeur principale finie ne prouve pas l’existence de l’intégrale impropre ordinaire. Pour 1/x² sur [−1,1], même les troncatures symétriques n’ont pas de limite finie.
8. Comparaison et convergence absolue
Si 0≤f≤g près du point problématique et ∫g converge, ∫f converge aussi. Si ∫f diverge vers +∞, ∫g aussi. Le sens de la comparaison compte. Sur [1,∞), 0<1/(1+x³)≤1/x³ : la convergence est établie sans calculer de primitive.
Pour f,g positives, si f/g→L avec 0<L<∞ près du point problématique, elles ont la même nature d’intégrabilité en ce point. Comparer (2x+1)/(x³+4) à 1/x² à l’infini donne un rapport tendant vers 2. Une comparaison locale ne permet pas d’ignorer d’autres singularités de l’intervalle.
Si ∫|f| converge, ∫f converge absolument. La convergence ordinaire n’implique pas la convergence absolue. Les signes peuvent créer des compensations le long d’une queue, mais ne permettent pas de réunir deux limites unilatérales divergentes.
Contrairement au test des termes des séries, f(x)→0 n’est même pas nécessaire en général pour une intégrale finie. Des pics triangulaires disjoints centrés aux entiers n≥2, de hauteur 1 et base 2⁻ⁿ, définissent une fonction continue d’aire totale 1/4 avec f(n)=1. Entre les pics elle vaut 0 : elle ne tend pas vers zéro.
9. Oscillations : convergence non absolue
Sur [1,∞), sin(x)/x converge comme intégrale impropre. Par parties sur [R,T] : ∫RTsin(x)/x dx=[−cos(x)/x]RT−∫RTcos(x)/x²dx. Sa valeur absolue est au plus 1/R+1/T+∫RTdx/x²=2/R. La queue devient petite uniformément pour T>R : le critère de Cauchy donne la convergence.
L’intégrale de |sin(x)|/x diverge : sur chaque [kπ+π/6,kπ+5π/6], k≥1, |sin(x)|≥1/2. La contribution est au moins 1/[3(k+1)] ; ces contributions ont une somme infinie. C’est une convergence conditionnelle, différente d’une simple compensation symétrique de 1/x autour de zéro.
Le laboratoire ne propose pas ce cas oscillant : la démonstration est analytique, pas issue d’un échantillonnage plus dense.
10. Que manque-t-il ? Contrôler la partie omise
Une valeur tronquée n’est pas le résultat final. Si I=∫1∞x⁻ᵖdx avec p>1, alors I−I(R)=R¹⁻ᵖ/(p−1). Pour p=2 et R=100, il manque encore 0,01 ; pour R=1000, il manque 0,001.
Près de zéro, pour p<1, la partie omise vaut ε¹⁻ᵖ/(1−p). Avec p=1/2, une erreur au plus δ exige 2√ε≤δ, donc ε≤(δ/2)². Pour δ=0,01 il faut ε≤0,000025 : une petite coupure peut ne pas être assez petite.
Si 0≤f≤g, la queue de g peut aussi majorer celle de f. Connaître la convergence ne signifie pas connaître une valeur exacte ou avoir atteint la précision demandée. Un petit écart entre deux troncatures ne garantit pas à lui seul une borne de la queue.
11. Une région infinie de volume fini
La région sous y=1/x pour x≥1 a une aire ∫1∞dx/x=∞. Sa rotation autour de l’axe x donne pourtant V=π∫1∞dx/x²=π. Ce solide idéal est la trompette de Gabriel.
Sa surface latérale a une aire infinie : S=2π∫1∞(1/x)√(1+1/x⁴)dx≥2π∫1∞dx/x=∞. Aire plane, volume et surface sont des grandeurs différentes avec des intégrandes différentes. C’est un modèle mathématique : épaisseurs physiques, peinture et matériaux réels ne sont pas une surface infiniment mince.
12. Méthode et laboratoire : se méfier des compensations
- Repérer toutes les bornes infinies et singularités.
- Séparer en intervalles avec un seul point problématique pour chaque limite.
- Écrire des troncatures à paramètres indépendants.
- Utiliser une primitive ou un critère de comparaison.
- Vérifier que chaque limite requise est finie avant de sommer.
- Si la symétrie est imposée, parler de valeur principale et non d’intégrale ordinaire.
Le laboratoire propose dix cas. Le curseur fait passer R de 1 à un million ou ε de 1 à 10⁻⁶ ; les cas à plusieurs coupures commencent là où les intervalles sont valides. α règle le rapport entre coupures gauche et droite. Lecture avance d’un niveau par seconde.
Le premier graphe montre la région incluse dans une fenêtre finie, avec hauteurs tronquées si nécessaire. Le second compare total et contributions séparées. Valeurs et restes viennent des formules guidées, pas d’une quadrature du dessin. La classification est théorique ; ce n’est pas un solveur de fonctions arbitraires. Les nombres sont arrondis.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Calculer ∫1∞dx/x² et le reste après R=1000.
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I(R)=1−1/R, donc l’intégrale vaut 1. Pour R=1000, la valeur tronquée est 0,999 et il manque 0,001.
2. Quelle coupure suffit pour ∫01dx/√x avec erreur au plus 0,01 ?
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L’intégrale vaut 2 et la partie omise 2√ε. Il faut ε≤(0,01/2)²=0,000025. Les niveaux du laboratoire sont discrets : il choisit la première coupure disponible satisfaisant la borne.
3. La croissance de −ln x près de zéro empêche-t-elle une intégrale finie ?
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Non : ∫ε1−ln x dx=1−ε+ε ln ε→1. Une fonction non bornée ne donne pas forcément une intégrale divergente.
4. Que vaut ∫−∞∞dx/(1+x²) ? Faut-il des troncatures symétriques ?
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Elle vaut π : chaque queue converge séparément vers π/2. Sur [−L,R], arctan L+arctan R tend vers π quelles que soient les vitesses de croissance.
5. Pour 1/x sur [−1,1], que donnent les coupures 2ε et ε ?
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Le total tronqué vaut ln 2, contre 0 pour des coupures égales. L’intégrale ordinaire ne converge pas : gauche −∞, droite +∞. La valeur principale symétrique reste 0 et diffère de la limite asymétrique.
6. La symétrie rend-elle ∫−11dx/x² finie ?
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Non : chaque côté diverge vers +∞. Des coupures égales donnent 2/ε−2→+∞ ; même la valeur principale n’est pas finie.
7. Comment traiter 1/√[x(1−x)] sur (0,1) ?
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Séparer les bornes, par exemple en 1/2. La primitive 2 arcsin√x donne π/2 par moitié : total π sans imposer des coupures égales.
8. Faut-il une primitive pour prouver la convergence de ∫1∞dx/(1+x³) ?
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Non : 0<1/(1+x³)≤1/x³ et ∫1∞dx/x³=1/2 est finie. La comparaison prouve la convergence, pas l’égalité à 1/2.
Intégrales définies et rotations · Séries