Imaginez un carré partagé en quatre couleurs. La transformation du boulanger le sépare en deux moitiés verticales, étire chacune à la largeur initiale, la comprime en hauteur et empile les morceaux. En répétant ce geste, les couleurs semblent de plus en plus mélangées. Dans le laboratoire interactif, commencez avec une grille 8×8 et quatre quadrants colorés, puis essayez des résolutions plus grandes ou votre propre image.
La règle pour un point
Pour 0≤x,y<1, si x<1/2, l’application envoie (x,y) sur (2x,y/2). Si x≥1/2, elle l’envoie sur (2x−1,(y+1)/2). Par exemple (0.3,0.4)→(0.6,0.2)→(0.2,0.6)→(0.4,0.3). Le deuxième point appartient à la moitié droite ; sa coordonnée verticale passe donc dans la bande inférieure.
Aire conservée, ordre de moins en moins visible
Chaque moitié est étirée horizontalement d’un facteur 2 et comprimée verticalement d’un facteur 1/2. Leur produit vaut 1 : l’aire est conservée. Rien n’est choisi au hasard : chaque position suivante dépend de la précédente. Pourtant, des points voisins au départ peuvent se séparer rapidement. C’est un exemple classique de chaos déterministe et de sensibilité aux conditions initiales.
Le secret des chiffres binaires
Écrivons x=0.b₁b₂b₃… en base 2. La nouvelle coordonnée horizontale est 0.b₂b₃… : le premier chiffre quitte x et détermine la bande où arrive le point. C’est le décalage de Bernoulli. Le laboratoire permet de cliquer sur l’image et de suivre l’orbite d’un point avec ses premiers chiffres binaires.
Une image numérique diffère du carré continu
Sur une grille N×N, les pixels sont en nombre fini. Le laboratoire utilise une permutation réversible : les moitiés s’élargissent, les lignes s’entrelacent et chaque pixel reçoit une seule nouvelle position. Aucune couleur n’est perdue après le recadrage et le redimensionnement initiaux. Comme il y a un nombre fini d’états, une image doit finir par réapparaître : le mélange visuel n’est ni un vrai hasard ni un chiffrement.
À vous de jouer
Choisissez parmi quatre images de démonstration, importez éventuellement un JPG, PNG ou WebP, sélectionnez une grille de 8×8 à 512×512 et avancez la transformation. Revenez en arrière, parcourez le curseur temporel, comparez avec l’originale, regardez six étapes explicatives, cliquez sur un point et téléchargez un PNG. Votre image reste dans le navigateur. Ouvrir le laboratoire de la transformation du boulanger →