Fase 1. Costruire un modello predittivo, passo passo

Dalla domanda ai dati, dalle medie ai gol attesi e alle probabilità: costruiamo un modello Poisson spiegando ogni scelta, simbolo e operazione.

Il percorso sui modelli predittivi

1. Prima la domanda, poi la formula

Vogliamo stimare quanti gol potrebbero segnare le due squadre e ricavare le probabilità degli esiti. H indica la squadra di casa, A quella ospite; G_H e G_A sono i gol, numeri interi non negativi. Consideriamo 90 minuti più recupero, senza supplementari o rigori. Definire l’evento impedisce di confrontare grandezze diverse.

Il modello poisson-v1 è sperimentale e usa i risultati, non una rete neurale. Non contiene automaticamente notizie, infortuni, formazioni, motivazioni, forza degli avversari o quote. I suoi «gol attesi» sono medie previste dal modello, non gli xG ricavati dalle occasioni di tiro.

2. Quali dati possono entrare

Per la squadra di casa prendiamo solo le sue partite in casa; per l’ospite solo quelle in trasferta. Usiamo la stessa competizione, incontri terminati e una finestra di 730 giorni. GF significa gol fatti dalla squadra studiata; GS significa gol subiti da quella squadra. In una riga dell’ospite, GF non è quindi il punteggio della squadra nominata per prima nell’incontro.

cutoff = min(calculation time, kickoff time) − 4 hours

La data limite, cutoff, è l’istante fino al quale ammettiamo lo storico per le medie. min sceglie il più piccolo dei due istanti. Le quattro ore sono una precauzione di questa versione, non una legge statistica. Il solo orario del match non prova che il risultato fosse disponibile: nel lavoro reale bisogna conservare anche quando ogni informazione è stata ricevuta.

3. Un dizionario prima dei conti

Σ significa «somma tutti i termini». Il pedice i identifica una partita: w_i è il suo peso. exp(x) significa e elevato a x, con e circa 2,71828; ln è il logaritmo naturale, operazione inversa. Una calcolatrice scientifica basta per queste funzioni.

4. Dare più peso al recente

Un peso dice quanto conta una partita nella media. Non è la probabilità di vittoria. d è l’età in giorni rispetto al cutoff. h=180 giorni è l’emivita: ogni 180 giorni il peso si dimezza. Le ore sono in UTC; la differenza in secondi si divide per 86 400.

w = exp(−ln(2) × d / 180) = 2^(−d/180)
d=0 → w=1; d=90 → w≈0.707107; d=180 → w=0.5; d=360 → w=0.25

A 360 giorni una partita conta un quarto di una nuova. W, somma dei pesi, può essere molto minore del numero di partite: non è un numero di osservazioni indipendenti. I 180 giorni sono una scelta da verificare, non da accettare perché produce risultati gradevoli.

5. Costruire una media pesata

Moltiplichiamo ogni numero di gol per il peso della partita. Sommiamo i prodotti, poi dividiamo per la somma dei pesi, non per il numero di partite. F raccoglie i gol fatti pesati; C quelli subiti pesati.

W=Σw_i; F=Σ(w_i × GF_i); C=Σ(w_i × GS_i)
mean_GF=F/W; mean_GS=C/W

Esempio inventato per imparare: 1 gol con peso 1; 3 gol con peso 0,5. La media semplice è (1+3)/2=2. Quella pesata cambia perché la seconda partita conta meno.

W=1+0.5=1.5
F=1×1+0.5×3=2.5
F/W=2.5/1.5≈1.666667

6. Il riferimento della competizione

Per sapere se una media è alta serve un confronto. Calcoliamo separatamente la media dei gol di casa μ_H e quella dei gol ospiti μ_A nella competizione, con gli stessi criteri temporali e pesi. S_H e S_A sono le somme dei gol pesati, W_L la somma dei pesi della competizione.

μ_H=S_H/W_L; μ_A=S_A/W_L
μ_H≈2.000320947500; μ_A≈1.346459586694

Le 537 partite dei due esempi sono disponibili tramite queste somme, non tutte le righe. Possiamo rifare le divisioni ma non controllare ogni incontro né ricalcolare il riferimento con un’emivita diversa dai soli aggregati.

7. Non fidarsi troppo di poche partite

Regolarizzare significa avvicinare una media incerta al riferimento. Aggiungiamo un peso di riferimento m=8. F è la somma pesata dei gol, W il peso della squadra, μ il riferimento pertinente. m non è una costante matematica: questa scelta va confrontata su dati successivi all’addestramento.

adjusted_mean=(F+mμ)/(W+m)
=F/(W+m)+mμ/(W+m)
=[W/(W+m)]×(F/W)+[m/(W+m)]×μ
α=W/(W+m); 1−α=m/(W+m)
adjusted_mean=α(F/W)+(1−α)μ

La seconda scrittura spiega la prima: α è la parte affidata alla squadra, 1−α quella affidata al riferimento. Se W=2 e m=8, α=2/10=0,2 e α×100%=20%, contro l’80% del riferimento. Aggiungiamo mμ sopra e m sotto perché aggiungiamo peso con media μ, non otto gol.

8. Attacco e difesa: quattro divisioni

Dividere per il riferimento dà un fattore senza unità: 1 significa uguale al riferimento, 1,20 significa il 20% in più. Attacco alto significa più gol fatti; difesa alta significa più gol subiti, quindi maggiore vulnerabilità, non forza. Attenzione: una squadra di casa subisce i gol di un’ospite, e viceversa.

9. Incrociare i due avversari

λ, lettera greca lambda, è la media prevista di gol. Moltiplichiamo il riferimento per l’attacco della squadra e la vulnerabilità dell’avversaria. 1,8 non significa segnare otto decimi di gol: è una media dei possibili risultati interi.

λ_H=μ_H × Attack_H × Defence_A
λ_A=μ_A × Attack_A × Defence_H
λ_used=max(0.15, min(5, λ))

L’ultima riga limita la media a 0,15–5: min prende il minore, max il maggiore. È una protezione tecnica, non prova di accuratezza. Non modifica nessuno dei due esempi.

10. Dalla media ai gol possibili

Poisson assegna probabilità ai conteggi 0, 1, 2, 3… data una media positiva λ. k è il numero richiesto; k! è il fattoriale: 3!=3×2×1=6 e, per definizione, 0!=1. P(G=k) si legge «probabilità di k gol». Scegliere questa distribuzione è un’ipotesi da verificare.

P(G=k)=exp(−λ) × λ^k/k!
P(G=0)=exp(−λ)
P(G=k)=P(G=k−1) × λ/k

L’ultima formula evita di ripetere potenze e fattoriali: si parte dallo zero e si passa al conteggio successivo. Esempio didattico con λ=2:

P(0)=exp(−2)≈0.135335
P(1)=P(0)×2/1≈0.270671
P(2)=P(1)×2/2≈0.270671
P(2) × 100% ≈ 27.0671%

11. La tabella dei punteggi

Assumiamo indipendenza tra i gol: conoscere un conteggio non cambia la distribuzione dell’altro. Nel calcio può essere imperfetto. Sotto questa ipotesi moltiplichiamo le probabilità dei conteggi. i indica gol di casa, j gol ospiti: (i,j) è un punteggio preciso.

q(i,j)=P(G_H=i) × P(G_A=j)
Z=Σ q(i,j), 0≤i≤30, 0≤j≤30
M(i,j)=q(i,j)/Z

Usiamo da 0 a 30 gol per squadra: 31×31=961 caselle. Z è la loro somma. Dividere ogni casella per Z riporta il totale a 1: tronchiamo e rinormalizziamo una distribuzione infinita, senza dichiarare impossibili più di 30 gol. Con queste medie la massa esclusa è numericamente trascurabile.

12. Sommare le caselle giuste

1, X e 2 sono alternativi ed esauriscono i casi: sommano a 1, cioè 100%. Le doppie possibilità 1X, X2 e 12 si sovrappongono: ogni esito semplice compare due volte. Sommano a 2, cioè 200%: non è un errore. Per una percentuale mostriamo sempre la trasformazione p×100%.

Abbiamo definito i calcoli, non misurato l’affidabilità. La fase 2 li esegue con tutti i numeri; la fase 3 insegna a metterli alla prova.

Prima di proseguire: prova tu

1. Una partita con peso 0,5 e 4 gol quanto aggiunge a F e W?

2. Perché la difesa di casa usa μ_A?

3. Con W=2 e m=8, quanto conta il riferimento?

4. Perché 1X+X2+12 dà 200%?

Prosegui alla fase successiva

Il percorso sui modelli predittivi

Per approfondire il metodo

• NIST · Poisson
• Forecasting: Principles and Practice · Time series cross-validation
• scikit-learn · Probability calibration