De la question aux données, moyennes, buts attendus et probabilités : construire un modèle de Poisson, chaque choix, symbole et opération expliqués.
Le parcours des modèles prédictifs
1. La question avant la formule
Nous estimons les buts des équipes et les probabilités des résultats. H désigne le domicile, A l’extérieur ; G_H et G_A sont leurs buts, entiers positifs ou nuls. On compte 90 minutes et temps additionnel, sans prolongation ni tirs au but. Définir l’événement évite de comparer des grandeurs différentes.
Le modèle expérimental poisson-v1 utilise les résultats, pas un réseau neuronal. Il n’intègre pas automatiquement actualités, blessures, compositions, motivation, force des adversaires ou cotes. Ses « buts attendus » sont des moyennes prévues, pas les xG fondés sur les tirs.
2. Quelles données retenir
Pour H, seulement ses matchs à domicile ; pour A, seulement ses déplacements. Même compétition, matchs terminés et fenêtre de 730 jours. GF signifie buts marqués par l’équipe étudiée ; GS, buts encaissés par cette équipe. Dans une ligne visiteuse, GF n’est donc pas le score du premier nom de l’affiche.
cutoff = min(calculation time, kickoff time) − 4 hours
Le cutoff est l’instant limite de l’historique admis pour les moyennes. min choisit l’instant le plus ancien. Les quatre heures sont une précaution, pas une loi statistique. L’heure du match ne prouve pas que son résultat était disponible : il faut conserver l’heure de réception de chaque information.
3. Un dictionnaire avant de calculer
| Grandeur | Signification |
|---|---|
| GF / GS | Buts marqués / encaissés par l’équipe étudiée |
| d, h, w | Âge en jours, demi-vie en jours, poids du match |
| W, F, C | Poids total, buts marqués pondérés, buts encaissés pondérés |
| μ_H, μ_A | Moyennes de référence : domicile, extérieur |
| m, α | Poids ajouté de référence ; fraction attribuée à l’équipe |
| Attack / Defence | Facteur relatif des buts marqués / encaissés |
| λ_H, λ_A | Moyennes prévues, pas scores exacts |
| P, q, Z, M | Probabilité ; produit d’un score ; somme de grille ; case normalisée |
Σ signifie « additionner tous les termes ». L’indice i repère un match : w_i est son poids. exp(x) est e élevé à x, e valant environ 2,71828 ; ln est le logarithme naturel, opération inverse. Une calculatrice scientifique suffit.
4. Donner plus de poids au récent
Le poids mesure combien un match compte dans la moyenne, pas sa probabilité de victoire. d est son âge en jours au cutoff. h=180 jours est la demi-vie : le poids est divisé par deux tous les 180 jours. Heures en UTC ; diviser l’écart en secondes par 86 400.
w = exp(−ln(2) × d / 180) = 2^(−d/180)
d=0 → w=1; d=90 → w≈0.707107; d=180 → w=0.5; d=360 → w=0.25
À 360 jours un match compte un quart d’un récent. W, poids total, peut être bien inférieur au nombre de matchs : ce n’est pas un nombre d’observations indépendantes. Le choix de 180 jours doit être vérifié, pas retenu pour des résultats séduisants.
5. Construire une moyenne pondérée
Multiplier les buts par le poids du match. Additionner les produits, puis diviser par le poids total, pas le nombre de matchs. F regroupe les buts marqués pondérés ; C les buts encaissés pondérés.
W=Σw_i; F=Σ(w_i × GF_i); C=Σ(w_i × GS_i)
mean_GF=F/W; mean_GS=C/W
Exemple inventé pour apprendre : 1 but avec poids 1 ; 3 buts avec poids 0,5. Moyenne simple (1+3)/2=2 ; la moyenne pondérée change car le second match compte moins.
W=1+0.5=1.5
F=1×1+0.5×3=2.5
F/W=2.5/1.5≈1.666667
6. La référence de la compétition
Il faut une référence pour juger une moyenne. Calculer séparément μ_H, buts locaux, et μ_A, buts visiteurs, avec les mêmes règles temporelles et poids. S_H et S_A sont les sommes pondérées des buts ; W_L est le poids total de la compétition.
μ_H=S_H/W_L; μ_A=S_A/W_L
μ_H≈2.000320947500; μ_A≈1.346459586694
Les 537 matchs sont disponibles sous forme de sommes, pas toutes leurs lignes. On peut refaire les divisions, mais pas contrôler chaque match ni recalculer la référence avec une autre demi-vie à partir des seules sommes.
7. Ne pas trop croire un petit échantillon
La régularisation rapproche une moyenne incertaine de la référence. Ajouter un poids de référence m=8. F est la somme pondérée des buts, W le poids de l’équipe, μ la référence pertinente. m n’est pas une constante mathématique : comparer ce choix sur des données postérieures à l’apprentissage.
adjusted_mean=(F+mμ)/(W+m)
=F/(W+m)+mμ/(W+m)
=[W/(W+m)]×(F/W)+[m/(W+m)]×μ
α=W/(W+m); 1−α=m/(W+m)
adjusted_mean=α(F/W)+(1−α)μ
La seconde forme explique la première : α est la part de l’équipe, 1−α celle de la référence. Si W=2 et m=8, α=2/10=0,2 et α×100%=20 %, contre 80 % de référence. Ajouter mμ en haut et m en bas ajoute du poids de moyenne μ, pas huit buts.
8. Attaque et défense : quatre divisions
| Grandeur | Formule | μ |
|---|---|---|
| Attaque locale | Attack_H=((F_H+8μ_H)/(W_H+8))/μ_H | μ_H |
| Buts encaissés domicile | Defence_H=((C_H+8μ_A)/(W_H+8))/μ_A | μ_A |
| Attaque visiteuse | Attack_A=((F_A+8μ_A)/(W_A+8))/μ_A | μ_A |
| Buts encaissés extérieur | Defence_A=((C_A+8μ_H)/(W_A+8))/μ_H | μ_H |
Diviser par la référence donne un facteur sans unité : 1 signifie égal, 1,20 signifie 20 % de plus. Attaque élevée : plus de buts marqués ; défense élevée : plus de buts encaissés, donc vulnérabilité, pas force. Une équipe locale encaisse des buts visiteurs, et inversement.
9. Croiser les adversaires
λ, lambda, est la moyenne prévue de buts. Multiplier référence, attaque propre et vulnérabilité adverse. 1,8 ne signifie pas marquer huit dixièmes de but : c’est une moyenne des résultats entiers possibles.
λ_H=μ_H × Attack_H × Defence_A
λ_A=μ_A × Attack_A × Defence_H
λ_used=max(0.15, min(5, λ))
La dernière ligne limite la moyenne à 0,15–5 : min prend le plus petit, max le plus grand. Protection technique, pas preuve de justesse. Aucun exemple n’est modifié.
10. De la moyenne aux buts possibles
Poisson attribue des probabilités aux comptes 0, 1, 2, 3… pour une moyenne positive λ. k est le compte ; k! la factorielle : 3!=3×2×1=6 et 0!=1 par définition. P(G=k) signifie « probabilité de k buts ». Cette distribution est une hypothèse à vérifier.
P(G=k)=exp(−λ) × λ^k/k!
P(G=0)=exp(−λ)
P(G=k)=P(G=k−1) × λ/k
La dernière formule évite de répéter puissances et factorielles : partir de zéro, puis passer au compte suivant. Exemple avec λ=2 :
P(0)=exp(−2)≈0.135335
P(1)=P(0)×2/1≈0.270671
P(2)=P(1)×2/2≈0.270671
P(2) × 100% ≈ 27.0671%
11. La matrice des scores
Supposons les buts indépendants : connaître un compte ne change pas la distribution de l’autre. Hypothèse parfois imparfaite au football. On multiplie alors les probabilités. i indique les buts locaux, j les visiteurs : (i,j) est un score précis.
q(i,j)=P(G_H=i) × P(G_A=j)
Z=Σ q(i,j), 0≤i≤30, 0≤j≤30
M(i,j)=q(i,j)/Z
Utiliser 0–30 buts par équipe : 31×31=961 cases. Z est leur somme. Diviser chacune par Z rétablit un total de 1 : on tronque et renormalise une distribution infinie, sans déclarer plus de 30 buts impossibles. Ici la masse exclue est négligeable numériquement.
12. Additionner les bonnes cases
| Événement | Signification | Formule |
|---|---|---|
| 1 | Victoire locale : i>j | P1=Σ M(i,j), i>j |
| X | Nul : i=j | PX=Σ M(i,i) |
| 2 | Victoire visiteuse : i<j | P2=Σ M(i,j), i<j |
| 1X / X2 / 12 | Doubles chances | P1+PX / PX+P2 / P1+P2 |
| Over 2.5 | Au moins 3 buts au total | Σ M(i,j), i+j≥3 |
| GG | Les deux équipes marquent | Σ M(i,j), i≥1, j≥1 |
1, X et 2 sont incompatibles et exhaustifs : total 1, soit 100 %. Les doubles chances 1X, X2 et 12 se chevauchent : chaque résultat apparaît deux fois. Total 2, soit 200 % : pas une erreur. Montrer la conversion p×100 %.
Les calculs sont définis, pas leur fiabilité. La phase 2 les exécute avec les nombres ; la phase 3 les met à l’épreuve.
Avant de continuer : à vous
1. Un match de poids 0,5 avec 4 buts ajoute combien à F et W ?
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Il ajoute 0,5×4=2 à F et 0,5 à W. La moyenne finale est F/W, pas F divisé par le nombre de matchs.
2. Pourquoi la défense locale utilise-t-elle μ_A ?
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Les buts encaissés à domicile sont marqués par les visiteurs. Un facteur défensif supérieur à 1 indique plus de buts encaissés, pas une meilleure défense.
3. Avec W=2 et m=8, quel poids pour la référence ?
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α=2/(2+8)=0,2 ; équipe 0,2×100%=20 %. Référence (1−0,2)×100%=80 %. m=8 ajoute du poids, pas huit buts.
4. Pourquoi 1X+X2+12 donne 200 % ?
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Chaque résultat figure deux fois : (P1+PX)+(PX+P2)+(P1+P2)=2(P1+PX+P2)=2. Donc 2×100%=200 %. Les doubles chances ne sont pas disjointes.
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