¿Cuánto deben acercarse dos datos para que sus resultados sean próximos? La continuidad responde alrededor de cada punto; la uniforme exige una precisión de entrada válida en todo el dominio. Pasamos de una garantía local a una global. Ejemplos, cuantificadores y una demostración explican el papel de la compacidad. Se necesitan límites, continuidad y sucesiones; las derivadas ayudan, pero no son imprescindibles.
Laboratorio: ¿un δ para un punto o para todos? · Índice del recorrido
1. Una exigencia de precisión, no de apariencia
Supón un error vertical permitido menor que ε=0,1. Elige un error horizontal δ para que datos a distancia menor que δ produzcan resultados a distancia menor que ε. Para f(x)=x², un cambio cerca de cero tiene poco efecto; cerca de 100 el mismo error puede amplificarse mucho. Una curva sin saltos no garantiza precisión uniforme.
|(100+0.001)²−100²|=0.200001
|(0+0.001)²−0²|=0.000001
La propiedad siempre se refiere a una función y su dominio. Decir solo «x² es uniformemente continua» es incompleto: sí en [−3,3], no en ℝ.
2. Las dos definiciones y el orden de elección
Sea f:D→ℝ. Para continuidad en cada punto se elige x₀, luego ε y después un δ que puede depender de ambos. Para continuidad uniforme se elige ε y luego un único δ antes de saber qué puntos x,y se compararán.
∀x₀∈D ∀ε>0 ∃δ=δ(ε,x₀)>0 ∀x∈D:
|x−x₀|<δ ⇒ |f(x)−f(x₀)|<ε
∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 ∀x,y∈D:
|x−y|<δ ⇒ |f(x)−f(y)|<ε
«El mismo δ» no significa un δ fijo para todo ε: reducir ε puede exigir reducir δ. Para ε fijado, δ no depende del centro, aunque sí de la función y el dominio. Los puntos comparados pertenecen a D, incluso en extremos. La uniformidad implica continuidad poniendo y=x₀, pero la recíproca falla en general.
3. Calcular un δ local para x²
Fijamos x₀∈ℝ y factorizamos la diferencia de cuadrados. Si |x−x₀|<1, entonces |x+x₀|≤|x−x₀|+2|x₀|<1+2|x₀|. Basta elegir:
δ=min(1, ε/(2|x₀|+1))
|x²−x₀²|=|x−x₀||x+x₀|<δ(2|x₀|+1)≤ε
ε=0.1: x₀=0 ⇒ δ=0.1; x₀=100 ⇒ δ=0.1/201
Hemos probado continuidad en cada punto. La elección es suficiente, no necesariamente máxima. Verla disminuir al crecer el centro no prueba que otra elección uniforme sea imposible. Para negar uniformidad construiremos pares que refutan cualquier δ.
4. La misma función en [−M,M]
M>0; x,y∈[−M,M]
|x²−y²|=|x−y||x+y|≤2M|x−y|
δ=ε/(2M) ⇒ |x−y|<δ ⇒ |x²−y²|<ε
El factor 2M limita ahora todas las posiciones: δ depende de ε y M, no de x o y. En [−3,3], con ε=0,1, basta δ=1/60. No implica que todo par más separado falle: la definición garantiza distancias menores, no da una condición necesaria para cada par.
Para M=0 el dominio es {0}: cualquier δ>0 sirve porque se compara el mismo punto. En ese caso no se divide por 2M.
5. El teorema de Heine–Cantor
Si K⊂ℝ es compacto y f:K→ℝ continua, entonces f es uniformemente continua en K. En ℝ, compacto equivale a cerrado y acotado. En particular, toda función continua en un intervalo cerrado y acotado [a,b] es uniformemente continua. También vale para compactos que no son intervalos.
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈K: |x−y|<δ ⇒ |f(x)−f(y)|<ε
El teorema garantiza existencia de δ para cada ε, sin dar automáticamente una fórmula óptima. No exige derivabilidad. No afirma que compacidad sea necesaria: sin x en ℝ refutará la necesidad, no el teorema.
Comprueba ambas hipótesis: cerrado pero no acotado puede no bastar; acotado pero no cerrado puede no bastar; no se puede omitir continuidad ni siquiera en [a,b].
6. Demostración paso a paso con sucesiones
Supongamos por contradicción que f no es uniformemente continua. Negar la definición da una tolerancia fija ε₀>0 que se viola para todo δ>0 con un par adecuado. Tomemos δ=1/n.
∃ε₀>0 ∀n≥1 ∃xₙ,yₙ∈K:
|xₙ−yₙ|<1/n; |f(xₙ)−f(yₙ)|≥ε₀
Por compacidad, xₙ tiene una subsucesión xₙₖ que converge a un punto a de K. Esta pertenencia es decisiva: f es continua en a. Comparamos la subsucesión correspondiente yₙₖ:
|yₙₖ−a|≤|yₙₖ−xₙₖ|+|xₙₖ−a|<1/nₖ+|xₙₖ−a|→0
xₙₖ→a; yₙₖ→a
f(xₙₖ)→f(a); f(yₙₖ)→f(a)
|f(xₙₖ)−f(yₙₖ)|≤|f(xₙₖ)−f(a)|+|f(yₙₖ)−f(a)|→0
Pero la última diferencia era siempre al menos ε₀: contradicción. Por tanto f es uniformemente continua. Las hipótesis tienen papeles distintos: compacidad produce un límite dentro del dominio y continuidad acerca también las imágenes.
7. Por qué x² no es uniformemente continua en ℝ
xₙ=n; yₙ=n+1/n
|yₙ−xₙ|=1/n→0
|yₙ²−xₙ²|=2+1/n²≥2
Las entradas se hacen arbitrariamente próximas, pero no las salidas. Fijamos ε₀=1: para todo δ>0 elegimos un entero n>1/δ. La distancia de entradas es menor que δ y la de imágenes supera ε₀. Negamos la definición, no solo observamos una pendiente creciente.
No contradice Heine–Cantor: ℝ es cerrado pero no acotado, luego no compacto. El mismo ejemplo funciona en [0,+∞).
8. Acercarse a un extremo excluido
f(x)=1/x; D=(0,1]
xₙ=1/n; yₙ=1/(n+1)
|xₙ−yₙ|=1/[n(n+1)]→0
|f(xₙ)−f(yₙ)|=1
Con ε₀=1/2 estos pares prueban falta de uniformidad. f es continua en todo punto del dominio, pero cero está excluido: (0,1] es acotado y no cerrado. Las sucesiones convergen justo donde no podemos aplicar continuidad.
f(x)=sin(1/x); D=(0,1]
xₙ=1/(2πn+π/2); yₙ=1/(2πn+3π/2), n≥1
xₙ,yₙ→0; |xₙ−yₙ|→0
f(xₙ)=1; f(yₙ)=−1
Aquí incluso la función está acotada entre −1 y 1, pero la diferencia de imágenes siempre vale 2. Continuidad y acotación sobre un dominio acotado no bastan. Tampoco una función uniformemente continua tiene necesariamente imagen acotada: f(x)=x en ℝ es un ejemplo inmediato.
9. No compacto no significa no uniforme
|sin x−sin y|≤|x−y|, x,y∈ℝ ⇒ δ=ε
|1/x−1/y|=|x−y|/(xy)≤|x−y|, x,y≥1 ⇒ δ=ε
La primera desigualdad sigue del teorema del valor medio y |cos t|≤1. La segunda usa xy≥1. Así sin x en ℝ y 1/x en [1,+∞) son uniformemente continuas pese a dominios no compactos. La misma expresión 1/x da respuestas distintas según el dominio.
x≥y≥0; d=√x−√y≥0
x−y=d(√x+√y)≥d²
|√x−√y|≤√|x−y| ⇒ δ=ε²
√x en [0,+∞) también es uniformemente continua. Su derivada 1/(2√x), para x>0, no está acotada cerca de cero, pero la desigualdad controla todos los pares. No es Lipschitz cerca de cero: |√h−0|/|h−0|=1/√h no tiene cota superior cuando h→0⁺.
10. Cotas Lipschitz, derivadas y operaciones
Una función es Lipschitz en D si existe L≥0 con |f(x)−f(y)|≤L|x−y| para todos x,y∈D. Si L>0 basta δ=ε/L; si L=0 es constante y cualquier δ>0 sirve. Es una condición suficiente, no necesaria, de uniformidad.
Lipschitz ⇒ uniformemente continua ⇒ continua
En un intervalo I, una función continua y derivable en el interior con |f′|≤L es Lipschitz por el valor medio. Importa que sea un intervalo: el segmento entre los puntos debe estar en el dominio. Derivada no acotada no implica lo contrario, como muestra √x. Un módulo de continuidad ω(h) acota |f(x)−f(y)| si |x−y|≤h y tiende a cero cuando h→0; aquí ω(h)=Lh o √h.
Sumas y composiciones de funciones uniformemente continuas con dominios compatibles conservan uniformidad. Para componer se elige primero la tolerancia de entrada de la función exterior y luego δ para la interior. El producto no siempre: f(x)=g(x)=x son uniformemente continuas en ℝ, pero fg=x² no. Si ambas son además acotadas, el producto sí lo es usando la cota siguiente y repartiendo tolerancia.
|f(x)g(x)−f(y)g(y)|
≤|f(x)||g(x)−g(y)|+|g(y)||f(x)−f(y)|
11. Para qué sirve: sucesiones, extremos y muestreo
Una función uniformemente continua transforma sucesiones de Cauchy del dominio en sucesiones de Cauchy de imágenes: para ε dado usa el mismo δ en todos los pares de términos suficientemente avanzados. No caracteriza la propiedad en cualquier dominio: x² en ℝ también preserva sucesiones de Cauchy sin ser uniformemente continua.
En un intervalo acotado (a,b), una función real es uniformemente continua exactamente cuando admite extensión continua a [a,b]. Una sucesión que tiende a a es de Cauchy, así que sus imágenes tienen límite finito; intercalar dos sucesiones prueba independencia de elección. Igual en b. Asignar esos valores da la extensión continua. La recíproca sigue de Heine–Cantor y de restringir a (a,b).
Finalmente, para f continua en [a,b], una malla con todas las celdas de longitud <δ tiene oscilación <ε en cada celda. Sustituir f por un valor elegido por celda da error de integral como máximo ε(b−a). Es una utilidad numérica concreta. Observar una malla finita sin cota analítica no da esta garantía.
12. El laboratorio: qué observar y qué demostrar
Elige uno de siete casos y fija ε. En modo local, mover el centro recalcula un δ suficiente para él. En modo uniforme, cuando vale la propiedad, se conserva el mismo δ: la fórmula justifica todos los puntos, no solo los veintiún centros animados. La tabla muestra elecciones suficientes, no máximas.
En los tres casos no uniformes propones δ: el programa construye x₀,x₁ con |x₁−x₀|<δ y diferencia de imágenes al menos ε. Avanzar reduce δ y construye otro par. La prueba general no es la lista finita, sino la construcción válida para todo δ>0 descrita en el artículo.
Los ejes son relativos: x−x₀ y f(x)−f(x₀). La banda azul indica proximidad de entradas, la naranja el error permitido en salidas. El punto gris es el centro y el rojo el segundo. El zoom automático no es todo el dominio. Para sin(1/x), el muestreo puede omitir oscilaciones; las imágenes extremas se justifican con las fórmulas exactas.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. ¿Un δ uniforme puede depender de ε?
Mostrar la solución razonada
Sí. Fijado ε, δ debe servir para todos los centros. Puede cambiar con ε y depender de la función y el dominio.
2. Elige δ uniforme para x² en [−3,3] con ε=0,12.
Mostrar la solución razonada
|x²−y²|≤6|x−y|. Basta δ=0,12/6=0,02: distancia <0,02 da error <0,12. Es suficiente, sin afirmar que sea máximo.
3. Para x², x₀=2 y ε=0,1, aplica la fórmula local.
Mostrar la solución razonada
δ=min(1; 0,1/(2·2+1))=0,02. A distancia <δ del centro, |x+x₀|<5, luego |x²−x₀²|<5δ=0,1. El factor 5 corresponde a este centro.
4. ¿Por qué xₙ=n e yₙ=n+1/n refutan uniformidad de x²?
Mostrar la solución razonada
La distancia 1/n tiende a cero pero los cuadrados difieren 2+1/n². Con ε₀=1, cualquier δ falla para n>1/δ. xₙ no necesita converger: el dominio no es compacto.
5. Compara 1/x en (0,1] y en [1,+∞).
Mostrar la solución razonada
En el primero no es uniforme: 1/n y 1/(n+1) se acercan, las imágenes difieren 1. En el segundo |1/x−1/y|≤|x−y| y basta δ=ε. La expresión por sí sola no basta.
6. ¿Una derivada no acotada excluye continuidad uniforme?
Mostrar la solución razonada
No. Para √x en [0,+∞), |√x−√y|≤√|x−y|. Con ε=0,1 basta δ=0,01. Su derivada no está acotada cerca de cero, pero la función es uniforme aunque no Lipschitz allí.
7. ¿Un dominio no compacto impide continuidad uniforme?
Mostrar la solución razonada
No: x y sin x en ℝ son uniformemente continuas con δ=ε. Heine–Cantor da una hipótesis suficiente, no necesaria. x en (0,1) también es uniforme y se extiende a los extremos.
8. Continua y acotada en un conjunto acotado: ¿basta?
Mostrar la solución razonada
No: sin(1/x) en (0,1] es continua y acotada. Los pares xₙ=1/(2πn+π/2), yₙ=1/(2πn+3π/2) se acercan y sus imágenes son 1,−1. No hay límite en el extremo excluido cero.
9. ¿Una función escalón en [−1,1] cumple Heine–Cantor?
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Para f(x)=0 si x<0 y 1 si x≥0, el dominio es compacto pero f es discontinua en cero. Con xₙ=−1/n e yₙ=0, las imágenes difieren 1. Falta continuidad.
10. Prueba uniformidad de e^(−x) en [0,+∞).
Mostrar la solución razonada
|f′(x)|=e^(−x)≤1. Por valor medio, |f(x)−f(y)|≤|x−y| y basta δ=ε. El dominio es un intervalo; esta prueba no exige compacidad.
11. ¿El producto de funciones uniformemente continuas siempre lo es?
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No: f=g=x en ℝ son uniformemente continuas, pero fg=x² no. Si ambas son además acotadas, la desigualdad del apartado 10 sí da uniformidad del producto.
12. Para x² en [−3,3], ε=0,06, elige una malla con h<δ.
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δ=ε/6=0,01. Con N celdas iguales h=6/N: elige N=601 para h<0,01. Oscilación por celda <0,06 y error integral ≤0,06·6=0,36. Es suficiente, no óptimo.
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