Quanto devono essere vicini due dati perché i risultati siano vicini? La continuità risponde attorno a ogni singolo punto; la continuità uniforme chiede una sola precisione di ingresso valida ovunque nel dominio. È il passaggio da una garanzia locale a una garanzia globale. Partiamo da esempi concreti, leggiamo bene l’ordine dei quantificatori e dimostriamo perché un dominio compatto rende possibile questo passaggio. Servono limiti, continuità e successioni; le derivate sono utili ma non indispensabili.
Laboratorio: una δ per un punto o per tutti? · Indice del percorso
1. Una richiesta di precisione, non una questione di aspetto
Supponi di accettare un errore verticale inferiore a ε=0,1. Vuoi scegliere un errore orizzontale δ tale che dati a distanza minore di δ producano valori a distanza minore di ε. Per f(x)=x², vicino a zero una piccola variazione di x ha poco effetto; vicino a 100 lo stesso errore può essere amplificato molto. Una curva senza salti non garantisce da sola una precisione uniforme.
|(100+0.001)²−100²|=0.200001
|(0+0.001)²−0²|=0.000001
La proprietà riguarda sempre una funzione insieme al suo dominio. Dire soltanto «x² è uniformemente continua» è incompleto: su [−3,3] sì, su ℝ no.
2. Le due definizioni e l’ordine delle scelte
Sia f:D→ℝ. Continuità in ogni punto significa: prima viene scelto il centro x₀, poi la tolleranza ε, infine troviamo una δ che può dipendere da entrambi. Nella continuità uniforme scegliamo ε e poi una sola δ, prima di sapere quali x,y del dominio verranno confrontati.
∀x₀∈D ∀ε>0 ∃δ=δ(ε,x₀)>0 ∀x∈D:
|x−x₀|<δ ⇒ |f(x)−f(x₀)|<ε
∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 ∀x,y∈D:
|x−y|<δ ⇒ |f(x)−f(y)|<ε
«La stessa δ» non significa una δ fissa per ogni ε: riducendo ε possiamo ridurre δ. Significa che, fissato ε, δ non dipende dal centro. δ può invece dipendere dalla funzione e dal dominio. Tutti i punti confrontati devono appartenere a D, anche agli estremi di un intervallo. L’uniformità implica la continuità, scegliendo y=x₀; il contrario non vale in generale.
3. Calcolare una δ locale per x²
Fissiamo x₀∈ℝ. Scomponiamo la differenza dei quadrati. Se imponiamo anche |x−x₀|<1, allora |x+x₀|≤|x−x₀|+2|x₀|<1+2|x₀|. Quindi basta la scelta seguente:
δ=min(1, ε/(2|x₀|+1))
|x²−x₀²|=|x−x₀||x+x₀|<δ(2|x₀|+1)≤ε
ε=0.1: x₀=0 ⇒ δ=0.1; x₀=100 ⇒ δ=0.1/201
Abbiamo dimostrato la continuità in ogni punto. Attenzione: questa scelta è sufficiente, non necessariamente massima. Vederla diminuire quando il centro cresce non dimostra, da solo, che nessun’altra scelta uniforme sia possibile. Per negare l’uniformità costruiremo coppie che sconfiggono qualsiasi δ.
4. La stessa funzione su [−M,M]
M>0; x,y∈[−M,M]
|x²−y²|=|x−y||x+y|≤2M|x−y|
δ=ε/(2M) ⇒ |x−y|<δ ⇒ |x²−y²|<ε
Ora il fattore 2M limita tutte le posizioni insieme: δ dipende da ε e da M, non da x o y. Su [−3,3], con ε=0,1, basta δ=1/60. Non significa che tutte le coppie distanti più di δ falliscano: la definizione dà una garanzia per distanze minori, non una condizione necessaria per ogni singola coppia.
Per M=0 il dominio è il solo punto {0}: qualunque δ>0 funziona, perché confrontiamo sempre lo stesso punto. Non bisogna dividere per 2M in quel caso.
5. Il teorema di Heine–Cantor
Se K⊂ℝ è compatto e f:K→ℝ è continua, allora f è uniformemente continua su K. In ℝ, compatto equivale a chiuso e limitato. In particolare ogni funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a,b] è uniformemente continua. Il risultato vale anche per compatti che non sono intervalli.
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈K: |x−y|<δ ⇒ |f(x)−f(y)|<ε
Il teorema garantisce l’esistenza di δ per ciascun ε; non fornisce automaticamente una formula ottimale per calcolarla. Non richiede derivabilità. Non afferma che la compattezza sia necessaria: sin x su ℝ sarà un controesempio alla necessità, non al teorema.
Per applicarlo controlla entrambe le ipotesi: un dominio chiuso ma illimitato può non bastare; un dominio limitato ma non chiuso può non bastare; la continuità non può essere omessa nemmeno su [a,b].
6. Dimostrazione, passo dopo passo, con le successioni
Supponiamo per assurdo che f non sia uniformemente continua. Negare la definizione significa trovare una stessa tolleranza ε₀>0 che viene violata per ogni scelta positiva di δ, usando di volta in volta una coppia adatta. Prendiamo δ=1/n.
∃ε₀>0 ∀n≥1 ∃xₙ,yₙ∈K:
|xₙ−yₙ|<1/n; |f(xₙ)−f(yₙ)|≥ε₀
Per compattezza la successione xₙ ammette una sottosuccessione xₙₖ che converge a un punto a appartenente a K. Questa appartenenza è decisiva: f è continua in a. Confrontiamo la corrispondente sottosuccessione yₙₖ:
|yₙₖ−a|≤|yₙₖ−xₙₖ|+|xₙₖ−a|<1/nₖ+|xₙₖ−a|→0
xₙₖ→a; yₙₖ→a
f(xₙₖ)→f(a); f(yₙₖ)→f(a)
|f(xₙₖ)−f(yₙₖ)|≤|f(xₙₖ)−f(a)|+|f(yₙₖ)−f(a)|→0
Ma l’ultima differenza era sempre almeno ε₀: contraddizione. Quindi f è uniformemente continua. Ecco i due ruoli distinti delle ipotesi: la compattezza produce un punto limite interno al dominio, la continuità fa avvicinare anche le immagini.
7. Perché x² su ℝ non è uniformemente continua
xₙ=n; yₙ=n+1/n
|yₙ−xₙ|=1/n→0
|yₙ²−xₙ²|=2+1/n²≥2
Le entrate diventano arbitrariamente vicine, ma le uscite non si avvicinano. Fissiamo ε₀=1: per ogni δ>0 basta scegliere un intero n>1/δ. Allora la distanza degli ingressi è minore di δ e quella delle immagini è maggiore di ε₀. Abbiamo negato la definizione, non soltanto osservato una pendenza crescente.
Nessuna contraddizione con Heine–Cantor: ℝ è chiuso ma non limitato, quindi non compatto. Anche su [0,+∞) lo stesso esempio funziona.
8. Avvicinarsi a un estremo escluso
f(x)=1/x; D=(0,1]
xₙ=1/n; yₙ=1/(n+1)
|xₙ−yₙ|=1/[n(n+1)]→0
|f(xₙ)−f(yₙ)|=1
Con ε₀=1/2, queste coppie dimostrano la non uniformità. f è continua in tutti i punti del dominio, ma zero è escluso: (0,1] è limitato e non chiuso. La coppia di successioni converge proprio dove non possiamo applicare la continuità.
f(x)=sin(1/x); D=(0,1]
xₙ=1/(2πn+π/2); yₙ=1/(2πn+3π/2), n≥1
xₙ,yₙ→0; |xₙ−yₙ|→0
f(xₙ)=1; f(yₙ)=−1
Qui anche la funzione è limitata, fra −1 e 1, eppure il salto fra le immagini delle coppie vale sempre 2. Essere continua e limitata su un dominio limitato non basta. Inoltre una funzione uniformemente continua non deve avere necessariamente immagine limitata: f(x)=x su ℝ è un esempio immediato.
9. Non compatto non significa non uniforme
|sin x−sin y|≤|x−y|, x,y∈ℝ ⇒ δ=ε
|1/x−1/y|=|x−y|/(xy)≤|x−y|, x,y≥1 ⇒ δ=ε
La prima disuguaglianza segue dal teorema di Lagrange e da |cos t|≤1. La seconda usa xy≥1. Dunque sin x su ℝ e 1/x su [1,+∞) sono uniformemente continue pur avendo domini non compatti. La stessa espressione 1/x cambiando dominio dà una risposta diversa.
x≥y≥0; d=√x−√y≥0
x−y=d(√x+√y)≥d²
|√x−√y|≤√|x−y| ⇒ δ=ε²
Anche √x su [0,+∞) è uniformemente continua. La sua derivata 1/(2√x), per x>0, cresce senza limite avvicinandosi a zero, eppure la disuguaglianza appena dimostrata controlla tutte le coppie. Non è Lipschitz vicino a zero: |√h−0|/|h−0|=1/√h non ha limite superiore per h→0⁺.
10. Lipschitz, derivate e operazioni fra funzioni
Una funzione è Lipschitz su D se esiste L≥0 con |f(x)−f(y)|≤L|x−y| per tutti x,y∈D. Se L>0 basta δ=ε/L; se L=0 la funzione è costante e qualunque δ>0 funziona. Essere Lipschitz è quindi una condizione sufficiente, non necessaria, per l’uniformità.
Lipschitz ⇒ uniformemente continua ⇒ continua
Su un intervallo I, una funzione continua e derivabile all’interno, con |f′|≤L, è Lipschitz per Lagrange. La parola intervallo conta: serve il segmento fra i punti dentro il dominio. Una derivata illimitata non conclude il contrario, come mostra √x. Un modulo di continuità è una funzione ω(h) che controlla |f(x)−f(y)| per |x−y|≤h e tende a zero per h→0; qui abbiamo ω(h)=Lh oppure ω(h)=√h.
Somma e composizione di funzioni uniformemente continue, con domini compatibili, conservano l’uniformità. Per la composizione si sceglie prima la tolleranza di ingresso richiesta dalla funzione esterna e poi δ per quella interna. Il prodotto non sempre: f(x)=g(x)=x sono uniformemente continue su ℝ, ma fg=x² no. Il prodotto è invece uniformemente continuo se entrambe le funzioni sono anche limitate, usando la stima seguente e dividendo la tolleranza fra i due termini.
|f(x)g(x)−f(y)g(y)|
≤|f(x)||g(x)−g(y)|+|g(y)||f(x)−f(y)|
11. Perché serve: successioni, estremi e campionamento
Una funzione uniformemente continua manda successioni di Cauchy del dominio in successioni di Cauchy delle immagini. Infatti, scelto ε, usa la stessa δ per tutte le coppie di termini abbastanza avanzati. Non è una caratterizzazione su ogni dominio: x² su ℝ manda comunque le successioni di Cauchy in successioni di Cauchy, ma non è uniformemente continua.
Su un intervallo limitato (a,b), l’uniformità di f a valori reali equivale alla possibilità di prolungarla continuamente a [a,b]. Per il verso meno immediato, una successione che tende ad a è di Cauchy, quindi le immagini hanno limite finito; intercalando due successioni si vede che il limite è indipendente dalla scelta. Analogamente in b. Assegnando questi valori agli estremi si ottiene il prolungamento continuo. Il verso opposto segue da Heine–Cantor e dalla restrizione al sottoinsieme (a,b).
Infine, per una funzione continua su [a,b], se una griglia ha tutte le celle di lunghezza <δ, l’oscillazione in ogni cella è <ε. Approssimando f con il valore scelto in ciascuna cella, l’errore sull’integrale è al più ε(b−a). È una ragione concreta per cui la continuità uniforme conta nei metodi numerici. Una griglia finita osservata senza una stima analitica non dà, invece, tale garanzia.
12. Il laboratorio: che cosa osservare e che cosa dimostrare
Scegli uno dei sette casi e fissa ε. In modalità locale il centro cambia e il programma ricalcola una δ sufficiente per quel centro. In modalità uniforme, quando la proprietà vale, mantiene la stessa δ al cambiare del centro: la formula giustifica tutti i punti del dominio, non solo i ventuno centri dell’animazione. Il confronto in tabella riporta scelte sufficienti, non δ massime.
Nei tre casi non uniformi proponi δ: il programma costruisce x₀,x₁ con |x₁−x₀|<δ ma differenza delle immagini almeno ε. Avanzando, riduce δ e costruisce un’altra coppia. La prova generale non è l’elenco finito dei tentativi: è la costruzione valida per ogni δ>0 descritta nell’articolo.
Gli assi del grafico sono relativi: x−x₀ e f(x)−f(x₀). La fascia blu indica la vicinanza degli ingressi; quella arancione l’errore ammesso nelle uscite. Il punto grigio è il centro, quello rosso il secondo punto. La finestra si ingrandisce automaticamente: non confonderla con l’intero dominio. Per sin(1/x), il disegno campionato può omettere oscillazioni; le due immagini estreme sono giustificate dalla formula esatta dei punti.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Una δ uniforme può dipendere da ε?
Mostra la soluzione ragionata
Sì. Fissato ε, δ deve funzionare per tutti i centri del dominio. Non deve essere la stessa per tolleranze ε diverse; può dipendere dalla funzione e dal dominio.
2. Per x² su [−3,3] e ε=0,12 scegli una δ uniforme.
Mostra la soluzione ragionata
|x²−y²|≤6|x−y|. Basta δ=0,12/6=0,02: se |x−y|<0,02, l’errore delle immagini è <0,12. È una scelta sufficiente, non una dichiarazione di massimalità.
3. Per x², x₀=2 ed ε=0,1, applica la formula locale.
Mostra la soluzione ragionata
δ=min(1; 0,1/(2·2+1))=0,02. Entro distanza δ dal centro, |x+x₀|<5, quindi |x²−x₀²|<5δ=0,1. Il fattore 5 riguarda questo centro.
4. Perché xₙ=n e yₙ=n+1/n smentiscono l’uniformità di x²?
Mostra la soluzione ragionata
La distanza 1/n tende a zero, ma il divario dei quadrati è 2+1/n². Fissato ε₀=1, ogni δ viene sconfitto da n>1/δ. Non serve che xₙ converga: il dominio non è compatto.
5. Confronta 1/x su (0,1] e su [1,+∞).
Mostra la soluzione ragionata
Sul primo dominio non è uniforme: 1/n e 1/(n+1) si avvicinano, le immagini differiscono di 1. Sul secondo |1/x−1/y|≤|x−y| e basta δ=ε. Non basta conoscere l’espressione della funzione.
6. Una derivata illimitata esclude la continuità uniforme?
Mostra la soluzione ragionata
No. Per √x su [0,+∞), |√x−√y|≤√|x−y|. Con ε=0,1 basta δ=0,01. La derivata è illimitata vicino a zero; la funzione è comunque uniforme, ma non Lipschitz vicino a zero.
7. Se un dominio non è compatto, la funzione non può essere uniforme?
Mostra la soluzione ragionata
No: f(x)=x e f(x)=sin x su ℝ sono uniformemente continue con δ=ε. Heine–Cantor dà un’ipotesi sufficiente, non necessaria. Anche x su (0,1) è uniforme e si prolunga continuamente agli estremi.
8. Continua e limitata su un insieme limitato: basta?
Mostra la soluzione ragionata
No: sin(1/x) su (0,1] è continua e limitata. Le coppie xₙ=1/(2πn+π/2), yₙ=1/(2πn+3π/2) hanno distanza tendente a zero e immagini 1,−1. Non esiste limite all’estremo escluso zero.
9. Una funzione a gradino su [−1,1] soddisfa Heine–Cantor?
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Per f(x)=0 se x<0 e f(x)=1 se x≥0, il dominio è compatto ma f è discontinua in zero. Con xₙ=−1/n e yₙ=0, le immagini differiscono di 1. Manca l’ipotesi di continuità.
10. Dimostra l’uniformità di e^(−x) su [0,+∞).
Mostra la soluzione ragionata
|f′(x)|=e^(−x)≤1. Per Lagrange, |f(x)−f(y)|≤|x−y| e δ=ε basta. Il dominio è un intervallo; non occorre che sia compatto per questa prova.
11. Il prodotto di due funzioni uniformemente continue lo è sempre?
Mostra la soluzione ragionata
No: f=g=x su ℝ sono uniformemente continue, mentre fg=x² non lo è. Se entrambe sono anche limitate, la stima del paragrafo 10 dà invece l’uniformità del prodotto.
12. Per x² su [−3,3], ε=0,06, scegli una griglia con h<δ.
Mostra la soluzione ragionata
δ=ε/6=0,01. Con N celle uguali h=6/N: scegli N=601, così h<0,01. L’oscillazione in ogni cella è <0,06 e l’errore dell’approssimazione integrale è ≤0,06·6=0,36. È una scelta sufficiente, non una griglia ottimale.
Prima: continuità e teoremi · Indice del percorso