À quelle distance doivent être deux données pour que leurs résultats soient proches ? La continuité répond autour de chaque point ; la continuité uniforme demande une seule précision d’entrée valable partout. On passe d’une garantie locale à une garantie globale. Exemples concrets, ordre des quantificateurs et démonstration expliquent le rôle de la compacité. Limites, continuité et suites sont requises ; les dérivées sont utiles mais non indispensables.
Laboratoire : un δ pour un point ou pour tous ? · Index du parcours
1. Une exigence de précision, pas une question d’apparence
Supposons une erreur verticale admise inférieure à ε=0,1. Choisissons une erreur horizontale δ pour que des données distantes de moins de δ donnent des résultats distants de moins de ε. Pour f(x)=x², une variation près de zéro a peu d’effet ; près de 100, la même erreur peut être amplifiée. Une courbe sans saut ne garantit pas une précision uniforme.
|(100+0.001)²−100²|=0.200001
|(0+0.001)²−0²|=0.000001
La propriété concerne toujours une fonction avec son domaine. Dire seulement « x² est uniformément continue » est incomplet : oui sur [−3,3], non sur ℝ.
2. Les deux définitions et l’ordre des choix
Soit f:D→ℝ. Pour la continuité en chaque point, on choisit le centre x₀, puis ε, puis un δ pouvant dépendre des deux. Pour la continuité uniforme, on choisit ε puis un unique δ avant de connaître les points x,y à comparer.
∀x₀∈D ∀ε>0 ∃δ=δ(ε,x₀)>0 ∀x∈D:
|x−x₀|<δ ⇒ |f(x)−f(x₀)|<ε
∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 ∀x,y∈D:
|x−y|<δ ⇒ |f(x)−f(y)|<ε
« Le même δ » ne signifie pas un δ fixé pour tous les ε : réduire ε peut imposer de réduire δ. Pour ε fixé, δ ne dépend pas du centre, mais peut dépendre de la fonction et du domaine. Les points comparés restent dans D, même aux extrémités. L’uniformité implique la continuité en posant y=x₀, mais la réciproque est fausse en général.
3. Calculer un δ local pour x²
Fixons x₀∈ℝ et factorisons la différence des carrés. Si |x−x₀|<1, alors |x+x₀|≤|x−x₀|+2|x₀|<1+2|x₀|. Le choix suivant suffit :
δ=min(1, ε/(2|x₀|+1))
|x²−x₀²|=|x−x₀||x+x₀|<δ(2|x₀|+1)≤ε
ε=0.1: x₀=0 ⇒ δ=0.1; x₀=100 ⇒ δ=0.1/201
Nous avons prouvé la continuité en chaque point. Ce choix est suffisant, pas forcément maximal. Le voir décroître quand le centre augmente ne prouve pas qu’un autre choix uniforme soit impossible. Pour réfuter l’uniformité, nous construirons des couples qui mettent en défaut tout δ.
4. La même fonction sur [−M,M]
M>0; x,y∈[−M,M]
|x²−y²|=|x−y||x+y|≤2M|x−y|
δ=ε/(2M) ⇒ |x−y|<δ ⇒ |x²−y²|<ε
Le facteur 2M borne maintenant toutes les positions : δ dépend de ε et M, pas de x ou y. Sur [−3,3], avec ε=0,1, δ=1/60 suffit. Les couples plus éloignés ne sont pas forcément tous en défaut : la définition garantit les petites distances, sans donner une condition nécessaire pour chaque couple.
Pour M=0 le domaine est {0} : tout δ>0 convient puisqu’on compare le même point. On ne doit alors pas diviser par 2M.
5. Le théorème de Heine–Cantor
Si K⊂ℝ est compact et f:K→ℝ continue, alors f est uniformément continue sur K. Dans ℝ, compact signifie fermé et borné. En particulier, toute fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] est uniformément continue. Le résultat vaut aussi pour les compacts qui ne sont pas des intervalles.
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈K: |x−y|<δ ⇒ |f(x)−f(y)|<ε
Le théorème garantit l’existence d’un δ pour chaque ε, sans fournir automatiquement une formule optimale. Il ne demande pas de dérivabilité. La compacité n’est pas dite nécessaire : sin x sur ℝ réfutera cette nécessité, pas le théorème.
Vérifiez les deux hypothèses : fermé mais non borné peut ne pas suffire ; borné mais non fermé peut ne pas suffire ; la continuité ne peut être omise même sur [a,b].
6. Démonstration pas à pas par les suites
Supposons par l’absurde que f ne soit pas uniformément continue. Nier la définition fournit une même tolérance ε₀>0 violée pour tout δ>0 par un couple approprié. Prenons δ=1/n.
∃ε₀>0 ∀n≥1 ∃xₙ,yₙ∈K:
|xₙ−yₙ|<1/n; |f(xₙ)−f(yₙ)|≥ε₀
Par compacité, xₙ admet une sous-suite xₙₖ convergeant vers a appartenant à K. Cette appartenance est essentielle : f est continue en a. Comparons la sous-suite correspondante yₙₖ :
|yₙₖ−a|≤|yₙₖ−xₙₖ|+|xₙₖ−a|<1/nₖ+|xₙₖ−a|→0
xₙₖ→a; yₙₖ→a
f(xₙₖ)→f(a); f(yₙₖ)→f(a)
|f(xₙₖ)−f(yₙₖ)|≤|f(xₙₖ)−f(a)|+|f(yₙₖ)−f(a)|→0
Or le dernier écart était toujours au moins ε₀ : contradiction. Donc f est uniformément continue. Les hypothèses ont deux rôles distincts : la compacité produit une limite dans le domaine, la continuité rapproche les images.
7. Pourquoi x² n’est pas uniformément continue sur ℝ
xₙ=n; yₙ=n+1/n
|yₙ−xₙ|=1/n→0
|yₙ²−xₙ²|=2+1/n²≥2
Les entrées deviennent arbitrairement proches, mais pas les sorties. Fixons ε₀=1 : pour tout δ>0, choisissons un entier n>1/δ. La distance des entrées est inférieure à δ, celle des images dépasse ε₀. On nie la définition, au lieu de constater seulement une pente croissante.
Aucune contradiction avec Heine–Cantor : ℝ est fermé mais non borné, donc non compact. L’exemple fonctionne aussi sur [0,+∞).
8. Approcher une extrémité exclue
f(x)=1/x; D=(0,1]
xₙ=1/n; yₙ=1/(n+1)
|xₙ−yₙ|=1/[n(n+1)]→0
|f(xₙ)−f(yₙ)|=1
Avec ε₀=1/2, ces couples prouvent la non-uniformité. f est continue en tout point du domaine, mais zéro est exclu : (0,1] est borné et non fermé. Les deux suites convergent là où on ne peut invoquer la continuité.
f(x)=sin(1/x); D=(0,1]
xₙ=1/(2πn+π/2); yₙ=1/(2πn+3π/2), n≥1
xₙ,yₙ→0; |xₙ−yₙ|→0
f(xₙ)=1; f(yₙ)=−1
Ici même la fonction est bornée entre −1 et 1, mais l’écart des images vaut toujours 2. Continuité et bornitude sur un domaine borné ne suffisent pas. Une fonction uniformément continue n’a pas non plus nécessairement une image bornée : f(x)=x sur ℝ le montre.
9. Non compact ne signifie pas non uniforme
|sin x−sin y|≤|x−y|, x,y∈ℝ ⇒ δ=ε
|1/x−1/y|=|x−y|/(xy)≤|x−y|, x,y≥1 ⇒ δ=ε
La première inégalité vient du théorème des accroissements finis et de |cos t|≤1. La seconde utilise xy≥1. Ainsi sin x sur ℝ et 1/x sur [1,+∞) sont uniformément continues malgré des domaines non compacts. Une même expression 1/x donne des réponses différentes selon le domaine.
x≥y≥0; d=√x−√y≥0
x−y=d(√x+√y)≥d²
|√x−√y|≤√|x−y| ⇒ δ=ε²
√x sur [0,+∞) est aussi uniformément continue. Sa dérivée 1/(2√x), pour x>0, est non bornée près de zéro ; l’inégalité contrôle pourtant tous les couples. La fonction n’est pas lipschitzienne près de zéro : |√h−0|/|h−0|=1/√h est non borné quand h→0⁺.
10. Bornes lipschitziennes, dérivées et opérations
Une fonction est lipschitzienne sur D si L≥0 vérifie |f(x)−f(y)|≤L|x−y| pour tous x,y∈D. Pour L>0 prendre δ=ε/L ; pour L=0 la fonction est constante et tout δ>0 convient. C’est une condition suffisante, non nécessaire, d’uniformité.
Lipschitz ⇒ uniformément continue ⇒ continue
Sur un intervalle I, une fonction continue, dérivable à l’intérieur avec |f′|≤L, est lipschitzienne par les accroissements finis. L’intervalle est important : le segment doit rester dans le domaine. Une dérivée non bornée n’implique pas le contraire, comme √x le montre. Un module de continuité ω(h) borne |f(x)−f(y)| lorsque |x−y|≤h et tend vers zéro avec h ; ici ω(h)=Lh ou √h.
Sommes et compositions de fonctions uniformément continues à domaines compatibles restent uniformément continues. Pour la composition, choisir d’abord la tolérance d’entrée de la fonction extérieure, puis δ pour l’intérieure. Le produit ne le reste pas toujours : f(x)=g(x)=x sont uniformément continues sur ℝ, mais fg=x² non. Si les deux sont aussi bornées, le produit est uniformément continu par la borne suivante en partageant la tolérance.
|f(x)g(x)−f(y)g(y)|
≤|f(x)||g(x)−g(y)|+|g(y)||f(x)−f(y)|
11. À quoi cela sert : suites, extrémités et échantillonnage
Une fonction uniformément continue envoie les suites de Cauchy du domaine sur des suites de Cauchy : pour ε donné, le même δ convient à tous les couples de termes assez avancés. Ce n’est pas une caractérisation générale : x² sur ℝ préserve aussi les suites de Cauchy sans être uniformément continue.
Sur un intervalle borné (a,b), une fonction réelle est uniformément continue exactement lorsqu’elle se prolonge continûment à [a,b]. Une suite tendant vers a est de Cauchy, donc ses images ont une limite finie ; entrelacer deux suites prouve l’indépendance du choix. Même argument en b. Ces valeurs donnent le prolongement continu. Réciproquement, appliquer Heine–Cantor au prolongement et restreindre à (a,b).
Enfin, pour f continue sur [a,b], une grille dont toutes les cellules ont longueur <δ donne une oscillation <ε dans chaque cellule. Remplacer f par une valeur choisie par cellule donne une erreur d’intégrale au plus ε(b−a). Voilà une utilité numérique concrète. Observer une grille finie sans borne analytique ne fournit pas cette garantie.
12. Le laboratoire : observer et démontrer
Choisissez un des sept cas et fixez ε. En mode local, déplacer le centre recalcule un δ suffisant pour ce centre. En mode uniforme, lorsque la propriété est vraie, le même δ est conservé : la formule justifie tous les points, pas seulement les vingt et un centres animés. Le tableau donne des choix suffisants, non maximaux.
Pour les trois cas non uniformes, proposez δ : le programme construit x₀,x₁ avec |x₁−x₀|<δ et écart des images au moins ε. Avancer réduit δ et reconstruit un couple. La preuve générale n’est pas la liste finie d’essais, mais la construction valable pour tout δ>0 décrite dans l’article.
Les axes sont relatifs : x−x₀ et f(x)−f(x₀). La bande bleue montre la proximité des entrées, l’orange l’erreur admise des sorties. Le point gris est le centre, le rouge le second point. Le zoom automatique n’est pas le domaine entier. Pour sin(1/x), l’échantillonnage peut manquer des oscillations ; les images extrêmes sont justifiées par les formules exactes.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Un δ uniforme peut-il dépendre de ε ?
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Oui. Pour ε fixé, δ doit convenir à tous les centres du domaine. Il peut changer avec ε et dépendre de la fonction et du domaine.
2. Choisir un δ uniforme pour x² sur [−3,3], ε=0,12.
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|x²−y²|≤6|x−y|. δ=0,12/6=0,02 suffit : distance <0,02 donne écart <0,12. Choix suffisant, sans affirmer qu’il est maximal.
3. Pour x², x₀=2 et ε=0,1, appliquer la formule locale.
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δ=min(1; 0,1/(2·2+1))=0,02. À distance <δ du centre, |x+x₀|<5, donc |x²−x₀²|<5δ=0,1. Le facteur 5 concerne ce centre.
4. Pourquoi xₙ=n et yₙ=n+1/n réfutent-ils l’uniformité de x² ?
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La distance 1/n tend vers zéro mais les carrés diffèrent de 2+1/n². Avec ε₀=1, tout δ est réfuté par n>1/δ. xₙ n’a pas à converger : le domaine est non compact.
5. Comparer 1/x sur (0,1] et [1,+∞).
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Sur le premier domaine, non-uniformité : 1/n et 1/(n+1) se rapprochent, leurs images diffèrent de 1. Sur le second, |1/x−1/y|≤|x−y|, donc δ=ε suffit. L’expression seule ne suffit pas.
6. Une dérivée non bornée exclut-elle l’uniformité ?
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Non. Pour √x sur [0,+∞), |√x−√y|≤√|x−y|. Pour ε=0,1, δ=0,01 suffit. Dérivée non bornée près de zéro, mais fonction uniforme et non lipschitzienne près de zéro.
7. Un domaine non compact empêche-t-il l’uniformité ?
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Non : x et sin x sur ℝ sont uniformément continues avec δ=ε. Heine–Cantor donne une hypothèse suffisante, non nécessaire. x sur (0,1) est aussi uniforme et se prolonge aux extrémités.
8. Continue et bornée sur un ensemble borné : suffisant ?
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Non : sin(1/x) sur (0,1] est continue et bornée. Les couples xₙ=1/(2πn+π/2), yₙ=1/(2πn+3π/2) se rapprochent mais ont pour images 1,−1. Pas de limite à l’extrémité exclue zéro.
9. Une fonction en escalier sur [−1,1] satisfait-elle Heine–Cantor ?
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Pour f(x)=0 si x<0 et 1 si x≥0, le domaine est compact mais f est discontinue en zéro. Avec xₙ=−1/n, yₙ=0, les images diffèrent de 1. L’hypothèse de continuité manque.
10. Prouver l’uniformité de e^(−x) sur [0,+∞).
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|f′(x)|=e^(−x)≤1. Les accroissements finis donnent |f(x)−f(y)|≤|x−y|, donc δ=ε suffit. Le domaine est un intervalle ; cette preuve ne demande pas de compacité.
11. Le produit de fonctions uniformément continues l’est-il toujours ?
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Non : f=g=x sur ℝ sont uniformément continues, mais fg=x² non. Si les deux sont aussi bornées, l’inégalité du paragraphe 10 donne l’uniformité du produit.
12. Pour x² sur [−3,3], ε=0,06, choisir une grille avec h<δ.
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δ=ε/6=0,01. Pour N cellules égales h=6/N : choisir N=601 pour h<0,01. Oscillation par cellule <0,06, erreur intégrale ≤0,06·6=0,36. Choix suffisant, pas optimal.
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