Quesito, soluzione immediata e spiegazione. Tutti gli esempi sono formulati in modo coerente.
1. Il prigioniero e il boia
Il boia dice: «Se dirai una verità sarai fucilato; se dirai una bugia sarai impiccato». Quale frase può dire il prigioniero per rendere impossibile applicare la regola?
Soluzione
«Sarò impiccato.»
Spiegazione
Se lo impiccano, la frase è vera e quindi dovrebbe essere fucilato. Se lo fucilano, la frase è falsa e quindi dovrebbe essere impiccato. Nessuna delle due pene è compatibile con la regola.
2. Il ponte
Una guardia dice: «Chi dice il vero passa; chi mente viene gettato nel fiume». Che cosa può dire un viaggiatore per bloccare la regola?
Soluzione
«Mi getterai nel fiume.»
Spiegazione
Se viene gettato nel fiume, la frase era vera e quindi avrebbe dovuto passare. Se passa, la frase era falsa e quindi avrebbe dovuto essere gettato nel fiume.
3. Il drago
Il drago dice: «Se la tua prossima frase è vera ti lascio andare; se è falsa ti mangio». Che cosa deve dire il cavaliere?
Soluzione
«Mi mangerai.»
Spiegazione
Se il drago lo mangia, la frase è vera e dovrebbe lasciarlo andare. Se lo lascia andare, la frase è falsa e dovrebbe mangiarlo.
4. Il giudice
Il giudice dice: «Se dirai una frase vera avrai 10 anni di carcere; se sarà falsa ne avrai 20». Quale frase crea il paradosso?
Soluzione
«Mi condannerai a 20 anni.»
Spiegazione
Se gli dà 20 anni, la frase è vera e dovrebbe dargliene 10. Se gliene dà 10, la frase è falsa e dovrebbe dargliene 20.
5. La porta rossa e la porta blu
Il custode dice: «Se la tua frase è vera aprirò la porta rossa; se è falsa aprirò la porta blu». Che cosa può dire il prigioniero?
Soluzione
«Aprirai la porta blu.»
Spiegazione
Se apre la blu, la frase è vera e dovrebbe aprire la rossa. Se apre la rossa, la frase è falsa e dovrebbe aprire la blu.
6. La scatola
Il custode dice: «Se dici il vero aprirò la scatola; se menti non la aprirò». Quale frase lo mette in difficoltà?
Soluzione
«Non aprirai la scatola.»
Spiegazione
Se non la apre, la frase è vera e quindi dovrebbe aprirla. Se la apre, la frase è falsa e quindi non dovrebbe aprirla.
7. Il voto
Il professore dice: «Se prevedi correttamente il voto, te ne darò uno diverso; se sbagli, ti darò proprio il voto previsto». Che cosa dice lo studente?
Soluzione
«Prenderò 6.»
Spiegazione
Se riceve 6, la previsione era corretta e il professore dovrebbe cambiare voto. Se riceve un voto diverso, la previsione era sbagliata e dovrebbe ricevere 6.
8. La pena prevista
Il sovrano dice: «Se prevedi correttamente la tua pena, la cambierò; se sbagli, applicherò esattamente quella che hai detto». Che cosa deve dire il prigioniero?
Soluzione
Una pena precisa, per esempio: «Mi condannerai all'esilio.»
Spiegazione
Se viene esiliato, la previsione è corretta e la pena deve essere cambiata. Se riceve una pena diversa, la previsione è sbagliata e quindi dovrebbe essere esiliato.
9. Il pirata
Il pirata dice: «Se indovini cosa farò del tesoro, farò il contrario; se sbagli, farò esattamente ciò che dici». Che cosa può affermare il prigioniero?
Soluzione
«Getterai il tesoro in mare.»
Spiegazione
Se il pirata lo getta in mare, la previsione era corretta e dovrebbe fare il contrario. Se non lo fa, la previsione era sbagliata e dovrebbe gettarlo in mare.
10. L'indovino
Il re dice all'indovino: «Se la tua profezia sarà vera ti bandirò; se sarà falsa ti farò giustiziare». Quale profezia crea il paradosso?
Soluzione
«Mi farai giustiziare.»
Spiegazione
Se lo giustizia, la profezia è vera e dovrebbe bandirlo. Se lo bandisce, la profezia è falsa e dovrebbe giustiziarlo.
11. La macchina ROSSO/VERDE
Una macchina deve mostrare ROSSO se la frase inserita è vera e VERDE se è falsa. Quale frase la manda in crisi?
Soluzione
«Questa macchina mostrerà VERDE.»
Spiegazione
Se mostra VERDE, la frase è vera e dovrebbe mostrare ROSSO. Se mostra ROSSO, la frase è falsa e dovrebbe mostrare VERDE.
12. L'oracolo
Un oracolo promette: «Se la tua previsione sul mio prossimo gesto è corretta, farò il contrario; se è sbagliata, farò proprio ciò che hai previsto». Quale previsione basta?
Soluzione
«Alzerai la mano destra.»
Spiegazione
Se alza la mano destra, la previsione era corretta e dovrebbe fare il contrario. Se non la alza, la previsione era sbagliata e dovrebbe alzarla.
13. Il carceriere e l'ora
Il carceriere dice: «Se indovini l'ora esatta della liberazione, ti libererò un'ora prima; se sbagli, ti libererò proprio all'ora indicata». Può esistere un'ora coerente?
Soluzione
No.
Spiegazione
Se l'ora indicata coincide con la liberazione, la regola impone di anticiparla e quindi non coincide più. Se non coincide, la regola impone di liberarlo proprio a quell'ora e quindi coincide.
14. Il robot
Un robot riceve questa regola: «Se il prossimo comando descrive correttamente ciò che farai, fai il contrario; se lo descrive male, fai esattamente ciò che dice». Il comando è: «Alza il braccio destro». Che cosa può fare?
Soluzione
Nessuna delle due possibilità è coerente.
Spiegazione
Se alza il braccio, la previsione era corretta e dovrebbe fare il contrario. Se non lo alza, la previsione era sbagliata e dovrebbe alzarlo.
15. Il cartello
Su un cartello compare soltanto la frase: «Questa frase è falsa». È vera o falsa?
Soluzione
Non le si può assegnare coerentemente né vero né falso.
Spiegazione
Se è vera, allora ciò che afferma la rende falsa. Se è falsa, allora non è vero che sia falsa e quindi dovrebbe essere vera.
16. Il libro
Un libro contiene una sola frase: «Tutte le frasi di questo libro sono false». Che valore di verità ha?
Soluzione
Produce un paradosso.
Spiegazione
Essendo l'unica frase del libro, parla anche di se stessa. Se è vera, allora anche lei deve essere falsa. Se è falsa, non tutte le frasi del libro sono false; poiché ce n'è una sola, quella frase dovrebbe essere vera.
17. Il barbiere
In un villaggio il barbiere rade tutti e soltanto gli uomini che non si radono da soli. Chi rade il barbiere?
Soluzione
Un simile barbiere non può esistere.
Spiegazione
Se rade se stesso, allora non appartiene agli uomini che non si radono da soli e quindi non dovrebbe radersi. Se non rade se stesso, allora appartiene proprio al gruppo che il barbiere deve radere.
18. Il catalogo
Una biblioteca prepara un catalogo che elenca tutti e soltanto i cataloghi che non elencano se stessi. Il nuovo catalogo deve elencare se stesso?
Soluzione
Non può farlo né evitarlo senza contraddizione.
Spiegazione
Se si elenca, non soddisfa più la condizione per essere elencato. Se non si elenca, soddisfa la condizione e quindi dovrebbe elencarsi.
19. «Sto mentendo»
Un uomo pronuncia soltanto questa frase: «Sto mentendo». Sta dicendo la verità o sta mentendo?
Soluzione
Nasce il paradosso del mentitore.
Spiegazione
Se dice la verità, allora sta mentendo. Se mente, l'affermazione «sto mentendo» è falsa e quindi non starebbe mentendo.
20. Due frasi che si inseguono
Su un foglio ci sono soltanto due frasi: 1) «La frase 2 è falsa». 2) «La frase 1 è vera». Esiste un'assegnazione coerente di vero e falso?
Soluzione
No.
Spiegazione
Se la 1 è vera, la 2 dovrebbe essere falsa; ma la 2 afferma correttamente che la 1 è vera e quindi sarebbe vera. Se la 1 è falsa, la 2 dovrebbe essere vera; ma allora la 2 affermerebbe falsamente che la 1 è vera. Nessuna assegnazione funziona.
21. Due frasi senza paradosso
Su un foglio ci sono soltanto due frasi: 1) «La frase 2 è falsa». 2) «La frase 1 è falsa». Quali valori possono avere?
Soluzione
Devono avere valori opposti.
Spiegazione
Se la 1 è vera, la 2 è falsa e tutto è coerente. Funziona anche il contrario: 1 falsa e 2 vera. Il gioco mostra che l'autoreferenza non produce sempre un paradosso.
22. Il coccodrillo
Un coccodrillo rapisce un bambino e dice al padre: «Te lo restituirò se indovini correttamente ciò che farò». Il padre risponde: «Non me lo restituirai». Che cosa può fare il coccodrillo?
Soluzione
La regola lo intrappola.
Spiegazione
Se non restituisce il bambino, il padre ha indovinato e quindi il coccodrillo dovrebbe restituirlo. Se lo restituisce, il padre ha sbagliato e quindi, secondo la promessa, non è obbligato a restituirlo. È il classico paradosso del coccodrillo.
23. Pinocchio
Il naso di Pinocchio cresce ogni volta che dice una bugia. Pinocchio afferma: «Il mio naso sta per crescere». Che cosa accade?
Soluzione
La regola genera un paradosso.
Spiegazione
Se il naso cresce, la frase era vera e quindi Pinocchio non stava mentendo: il naso non avrebbe dovuto crescere. Se non cresce, la frase era falsa e quindi stava mentendo: il naso dovrebbe crescere.
24. Il semaforo logico
Un dispositivo dice: «Se la frase che leggerai è vera accenderò il verde; se è falsa accenderò il rosso». La frase è: «Si accenderà il rosso». Che colore può accendere?
Soluzione
Nessuno dei due senza contraddizione.
Spiegazione
Se accende rosso, la frase è vera e la regola impone verde. Se accende verde, la frase è falsa e la regola impone rosso.
25. Il giudizio finale
Un giudice dice: «Se la tua frase descrive correttamente ciò che farò, farò il contrario; se lo descrive male, farò esattamente ciò che hai detto». L'imputato dice: «Mi libererai». Che cosa può fare il giudice?
Soluzione
Non può né liberarlo né trattenerlo rispettando la regola.
Spiegazione
Se lo libera, la frase è corretta e dovrebbe fare il contrario. Se lo trattiene, la frase è sbagliata e dovrebbe liberarlo.